Question

【題目】函數y1＝kx2+ax+a的圖象與x軸交于點A，B（點A在點B的左側），函數y2＝kx2+bx+b，的圖象與x軸交于點C，D（點C在點D的左側），其中k≠0，a≠b．

（1）求證：函數y1與y2的圖象交點落在一條定直線上；

（2）若AB＝CD，求a，b和k應滿足的關系式；

（3）是否存在函數y1和y2，使得B，C為線段AD的三等分點？若存在，求的值，若不存在，說明理由

Answer 1

【答案】(1) 見解析;(2) a+b＝4k ;(3) ＝或

【解析】

(1)使兩個函數關系式相等，根據已知求出x的值即可判斷；

(2)表示出A、B、C、D的坐標，求出AB、CD，列方程求解即可；

(3)方法與(2)相同，利用三等分點條件，列方程求解即可.

(1)當y1＝y2時，kx2+ax+a＝kx2+bx+b，

∵a≠b，

∴x＝﹣1，

∴函數y1與y2的圖象交點落在一條定直線上；

(2)若AB＝CD則xB﹣xA＝xD﹣xC，

A、B、C、D為拋物線與x軸的交點，可得

xA＝，xB＝，

xC＝，xD＝，

代入xB﹣xA＝xD﹣xC得

-=-，

所以a+b＝4k；

(3)因為B、C為線段AD的三等分點，

當點B在點C左側時，BC=CD，則有xC﹣xD＝xC﹣xB，

∴2xC＝xD+xB，

∴2×＝+，

整理得：a2+b2+14ab＝0，

∴()2++1＝0，

解得＝或；

當點C在點B左側時，AC=BC，則有xC﹣xA＝xB﹣xC，

∴2xC＝xA+xB，

∴2×＝+，

即＝，

整理得：a-b=，

∵a+b=4k，

∴a-b=，

即a-b=，

a2+b2-ab＝0，

∴()2-+1＝0，

△<0，方程無解，

綜上，的值為或.