Question

【題目】如圖1，拋物線y＝a（x+2）（x﹣6）（a＞0）與x軸交于C，D兩點（點C在點D的左邊），與y軸負半軸交于點A．

（1）若△ACD的面積為16．

①求拋物線解析式；

②S為線段OD上一點，過S作x軸的垂線，交拋物線于點P，將線段SC，SP繞點S順時針旋轉任意相同的角到SC1，SP1的位置，使點C，P的對應點C1，P1都在x軸上方，C1C與P1S交于點M，P1P與x軸交于點N．求的最大值；

（2）如圖2，直線y＝x﹣12a與x軸交于點B，點M在拋物線上，且滿足∠MAB＝75°的點M有且只有兩個，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①，②t＝0時，最大值為2；（2）

【解析】

（1）①由題意，令y=0，解得C（-2，0），D（6，0）得CD=8，令x=0，解得y=-12a，且a>0，A（0，-12a），即OA=12a，由S△ACD==48a=16，解得：a＝，所求拋物線的解析式為y＝(x+2)(x6)= x2x4；
②由于∠SP1P-∠SC1C=∠SCC1，且∠MSC=∠NSP1∴△MSC∽△NSP1得，設S（t，0）（0≤t≤6），則SP=(t+2)(t6)，SC=t+2，可得t=0時，最大值為2；
（2）分兩種情況討論，①由直線y=x-12a與x軸交于點B得B（12a，0），OA=OB=12a，∠OAB=∠OBA=45°，當點N在y軸的左側時，此時∠MAO=30°得直線AM的解析式為：得點M的橫坐標為得

②當點M在y軸的右側時，過點B作x軸的垂線與①中直線AE關于AB的對稱直線交于點F，易證：△EBA≌△FBA，得∠BAF=75°，BF=BE=，∠FBO=90°，得直線AF的解析式為：，點G橫坐標為，點A關于拋物線對稱軸x=2的對稱點的坐標為：（4，-12a），則，得，因此滿足∠MAB=75°的點M有且只有兩個，則a的取值范圍為：．

解：（1）①由題意，令y＝0，解得x1＝﹣2，x2＝6

∴C（﹣2，0），D（6，0）

∴CD＝8．

令x＝0，解得y＝﹣12a，且a＞0

∴A（0，﹣12a），即OA＝12a

∴S△ACD＝＝48a＝16，

解得：

所求拋物線的解析式為＝

②由題意知，∠SP1P﹣∠SC1C＝∠SCC1，且∠MSC＝∠NSP1

∴△MSC∽△NSP1

∴

設S（t，0）（0≤t≤6），則SP＝，SC＝t+2

∴

∵0≤t≤6

∴t＝0時，最大值為2；

（2）由題意，直線y＝x﹣12a與x軸交于點B得B（12a，0），OA＝OB＝12a，∠OAB＝∠OBA＝45°

如圖2

當點M在y軸的左側時，此時∠MAO＝30°

設直線AM與x軸交于點E，則OE＝

∴

又∵A（0，﹣12a），

∴直線AM的解析式為：

由得：

解得：

∴點M的橫坐標為

∵

②當點M在y軸的右側時，過點B作x軸的垂線與①中直線AE關于AB的對稱直線交于點F，

易證：△EBA≌△FBA，

得∠BAF＝75°，BF＝BE＝，∠FBO＝90°

∴

∴直線AF的解析式為：

由，解得：

∴點G橫坐標為，

點A關于拋物線對稱軸x＝2的對稱點的坐標為：（4，﹣12a），

則，得，

故要使滿足∠MAB＝75°的點M有且只有兩個，則a的取值范圍為：．