Question

【題目】矩形AOCD繞頂點(diǎn)A(0，5)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置時(shí)，邊BE交邊CD于M，且ME=2，CM=4.

（1）求AD的長(zhǎng)；

（2）求經(jīng)過A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（3）在直線AM下方，（2）中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使S△PAM =？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AD=7；（2）；（3）P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）、（，）

【解析】試題分析: （1）作BP⊥AD于P，BQ⊥MC于Q，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AB=AO=5，BE=OC=AD，∠ABE=90°，利用等角的余角相等得∠ABP=∠MBQ，可證明Rt△ABP∽Rt△MBQ得到，設(shè)BQ=PD=x，AP=y，則AD=x+y，所以BM=x+y-2，利用比例性質(zhì)得到PBMQ=xy，而PB-MQ=DQ-MQ=DM=1，利用完全平方公式和勾股定理得到52-y2-2xy+（x+y-2）2-x2=1，解得x+y=7，則BM=5，BE=BM+ME=7，所以AD=7；

（2）由AB=BM可判斷Rt△ABP≌Rt△MBQ，則BQ=PD=7-AP，MQ=AP，利用勾股定理得到（7-MQ）2+MQ2=52，解得MQ=4（舍去）或MQ=3，則BQ=4，根據(jù)三角形面積公式和梯形面積公式，利用S陰影部分=S梯形ABQD-S△BQM進(jìn)行計(jì)算即可；然后利用待定系數(shù)法求直線AM的解析式.先確定B（3，1），然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AM的下方的拋物線上時(shí)，作PK∥y軸交AM于K，如圖2設(shè)P（x，x2-x+5），則K（x，-x+5），則KP=-x2+x，根據(jù)三角形面積公式得到（-x2+x）7=，解得x1=3，x2=，于是得到此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）、（，）；再求出過點(diǎn)（3，1）與（，）的直線l的解析式為y=-x+，則可得到直線l與y軸的交點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（0，），所以AA′=，然后把直線AM向上平移個(gè)單位得到l′，直線l′與拋物線的交點(diǎn)即為P點(diǎn)，由于A″（0，），則直線l′的解析式為y=-x+，再通過解方程組得P點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析:

解：⑴ 如圖1，連接AM，

在矩形AOCD中，∠AOC=∠ADC=90°，AD=OC，CD=AO=5，

∵CM=4，

∴DM=1，

由旋轉(zhuǎn)，得∠B=∠AOC =90°，BE=OC，AB=AO=5，

設(shè)BE=OC= AD=x，

在Rt△ADM中，AM2=x2+1，

在Rt△ABM中，AM2=(x-2) 2+25,

∴x2+1=(x-2) 2+25，解得x=7，

∴AD=7.

⑵ 如圖2，過點(diǎn)B作x軸的平行線，交AO于G，交DC于H，

則 ∠AGB=∠BHM =90°，

∴ ∠ABG＋∠BAG =90°，

∵ ∠ABE=90°，

∴ ∠ABG＋∠MBH =90°，

∴ ∠BAG =∠MBH ，

∵ AB=BM=5，

∴ △AGB≌△BHM（AAS），

∴ BH=AG，MH=BG，

設(shè)MH=BG=n，則DH=n＋1，∴BH=AG=n＋1，

∵ GH=OC=AD=7，

∴ n＋（n＋1）=7，

∴ n=3，

∴ AG=4，BG=3，

∵ A（0，5），

∴ 點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1），

設(shè)經(jīng)過A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax+bx+5，將B（3，1），

D（7，5）代入，得

解得

∴y=x2-x+5.

圖2

⑶ 存在．

設(shè)直線AM的解析式為y=kx+5，將M（7，4）代入，得k=，

∴y=-x+5,

∵點(diǎn)P在線段AD的下方的拋物線上，作PK∥y軸交AM于K，

設(shè)P（x，），則K（x，），

∴KP=﹣=，

∵S△PAM=，

∴7=，

整理得7x2﹣46x+75=0，

解得x1=3，x2=，

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）、（，）.

點(diǎn)睛: 本題考查了幾何變換綜合題：熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和三角形全等于相似的判定與性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；會(huì)進(jìn)行代數(shù)式的變形．