Question

【題目】已知如圖，以Rt△ABC的AC邊為直徑作⊙O交斜邊AB于點E，連接EO并延長交BC的延長線于點D，作OF∥AB交BC于點F，連接EF．

（1）求證：OF⊥CE

（2）求證：EF是⊙O的切線；

（3）若O的半徑為3，∠EAC＝60°，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）AD=.

【解析】試題分析: （1）根據直徑所對的圓周角為直角可得CE⊥AE。根據中位線的定義可得OF為△ABC的中位線，由中位線的性質，OF//AB。根據平行線的性質，所以CE⊥OF。（2）在(1)的條件下,又有EO=OC，根據中垂線的性質，可得OF垂直平分CE，根據垂直平分線上的點到的線段兩端點的距離相等，所以FC=FE，根據邊邊邊定理可判定△OCF△OEF，根據全等三角形的性質可得OE⊥EF.根據切線性質，所以EF是⊙O的切線.

（3）根據等邊三角形的判定可得△AEO為等邊三角形，由等邊三角形性質可得∠EOA=60°.由對頂角相等可得∠COD=∠EOA=60°.在Rt△OCD中，根據三角函數關系可得，CD=.在Rt△ACD中，根據勾股定理可得AD的長.

試題解析:

解：如圖，

（1）證明：∵AC是⊙O的直徑，

∴CE⊥AE

∵OF∥AB

∴OF⊥CE；

（2）證明：∵OF⊥CE

∴OF所在直線垂直平分CE，

∴FC＝FE

∴∠FCE＝∠FEC,

又∵OE＝OC，

∠OEC＝∠OCE,

∵∠ACB＝90°，

即∠OCE＋∠FCE＝90°，

∴∠OEC＋∠FEC＝90°，

即∠FEO＝90°，

∴FE為O的切線.

（3）∵O的半徑為3，

∴AO＝CO＝EO＝3.

∵∠EAC＝60°，OA＝OE，∴△AEO為等邊三角形，

∴∠EOA＝60°，

∴∠COD＝∠EOA＝60°.

∵在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3，

∴CD＝.

∵在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，AC＝6，

∴AD＝===.

點睛: 本題考查了切線的判定和性質，三角形的中位線的性質，勾股定理，線段垂直平分線的性質，直角三角形的性質，熟練掌握定理是解題的關鍵．