Question

【題目】定義：如果函數C：（）的圖象經過點（m，n）、（-m，-n），那么我們稱函數C為對稱點函數，這對點叫做對稱點函數的友好點．

例如：函數經過點（1，2）、（-1，-2），則函數是對稱點函數，點（1，2）、（-1，-2）叫做對稱點函數的友好點．

（1）填空：對稱點函數一個友好點是（3，3），則b= ，c= ；

（2）對稱點函數一個友好點是（2b，n），當2b≤x≤2時，此函數的最大值為，最小值為，且=4，求b的值；

（3）對稱點函數（）的友好點是M、N（點M在點N的上方），函數圖象與y軸交于點A．把線段AM繞原點O順時針旋轉90°，得到它的對應線段A′M′．若線段A′M′與該函數的圖象有且只有一個公共點時，結合函數圖象，直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）b=1，c=9；（2）b=0或b=或b=；（3） 或

【解析】

（1）由題可知函數圖象過點（3，3），（-3，-3），代入即可求出b，c的值；

（2）代入函數的友好點，求出函數解析式y=x2+2bx-4b2=（x+b）2-5b2，再根據二次函數的圖象及性質分三種情況分析討論；

（3）由 推出 ，再根據“友好點”是M（2，2）N（-2，-2）旋轉后M′（2，-2） A′（-4a，0），將（-4a，0）代 得出，根據圖象即可得出結論．

解：（1）由題可知函數圖象過點（3，3），（-3，-3），代入函數（），得

解得：b=1，c=9；

（2）由題意得另一個友好數為（-2b，-n）

∴-n=4b2-4b2+c

∴c=-n

∴y=x2+2bx-n

把（2b，n）代入y=x2+2bx-n

n=4b2+4b2-n

∴n=4b2

∴y=x2+2bx-4b2=（x+b）2-5b2

當-b<2b即b>0時

∵拋物線開口向上

∴在對稱軸右側，y隨x增大而增大

∴當x=2b時，y1=4b2

當x=2時，y2=-4b2+4b+4

∵y1-y2=4

∴-4b2+4b+4-4b2=4

∴-8b2+4b=0

∴b1=0（舍）b2=

當2<-b，即b<-2時

在對稱軸左側，y隨x增大而減小

∴當x=2b時，y1=4b2

當x=2時，y2=-4b2+4b+4

∵y1-y2=4

∴4b2+4b2-4b-4=4

∴8b2-4b-8=0

∴2b2-b-2=0

b=（舍）

當2b≤-b≤2，即-2≤b≤0時y2=-5b2

當x=2時，y1=-4b2+4b+4

∵y1-y2=4

∴-4b2+4b+4+5b2=4

∴b2+4b=0

∴b1=0，b2=-4（舍）

當x=2b時，y1=4b2

∵y1-y2=4

∴9b2=4

∴b=（舍）b=

∴b=0或b=或b= ；

（3） 推出

“友好點”是M（2，2）N（-2，-2）旋轉后M’（2，-2） A’（-4a，0）

將（-4a，0）代入

當a>0時 當拋物線經過A′后有兩個交點 ∴

當a<0時，當拋物線經過A′點以后，開始于拋物線有一個交點 ∴

綜上：或．