Question

【題目】閱讀下面材料：

小紅遇到這樣一個問題：如圖1，在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠D=60°，AB=，BC=，求AD的長．

小紅發現，延長AB與DC相交于點E，通過構造Rt△ADE，經過推理和計算能夠使問題得到解決(如圖2)．

請回答：AD的長為　　　　．

參考小紅思考問題的方法，解決問題：

如圖3，在四邊形ABCD中，tanA=，∠B=∠C=135°，AB=9，CD=3，求BC和AD的長．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）BC=，AD=．

【解析】

（1）延長AB與DC相交于點E，解直角三角形BEC，得出BE的長，那么AE=AB+BE，再解直角三角形ADE，即可求出AD；
（2）延長AB與DC相交于點E．由∠ABC=∠BCD=135°，得出∠EBC=∠ECB=45°，那么BE=CE，∠E=90°．設BE=CE=x，則BC=x，AE=9+x，DE=3+x．在Rt△ADE中，由tanA=，得出，求出x=3，那么BC=3，AE=12，DE=6，再利用勾股定理即可求出AD．

（1）如圖，延長AB與DC相交于點E，

在△ADE中，

∵∠A=90°，∠D=60°，

∴∠E=30°．

在Rt△BEC中，

∵∠BCE=90°，∠E=30°，BC=，

∴BE=2BC=2，

∴AE=AB+BE=4+2=6．

在Rt△ADE中，

∵∠A=90°，∠E=30°，AE=6，

∴AD=AEtan∠E=6×=6．

故答案為：6；

（2）如圖，延長AB與DC相交于點E．

∵∠ABC=∠BCD=135°，

∴∠EBC=∠ECB=45°，

∴BE=CE，∠E=90°．

設BE=CE=x，則BC=x，AE=9+x，DE=3+x．

在Rt△ADE中，∠E=90°．

∵tanA=，

∴，即，

∴x=3．

經檢驗x=3是所列方程的解，且符合題意，

∴BC=3，AE=12，DE=6，

∴AD==6．