Question

【題目】已知：如圖，拋物線y ax2 - 2ax 3a交 x 軸正半軸于點 A，負半軸于點 B，交 y 軸于點C，tan∠OBC=3．

(1)求 a 值；

(2)點 P 為第一象限拋物線上一點，連接 AC、PA、PC，若點 P 的橫坐標為 t， PAC 的面積為S，求 S與t的函數解析式，（請直接寫出自變量 t 的取值范圍）；

(3)在（2）的條件下，過點 P 作 PD∥y 軸交 CA 延長線于點 D，連接 PB，交 y 軸于點 E，點 Q 為第二象限拋物線上一點，連接 QE 并延長分別交 x 軸、拋物線于點 N、F，連接 FD，交 x 軸于點 K ，當E 為 QF 的中點且 FN=FK 時，求直線 DF 的解析式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）由拋物線與x軸相交，令，求出、，再根據求出點C的坐標，代入拋物線即可求出．

（2）根據題意作圖，過點P作軸分別交延長線、軸于點，過點C作交延長線于點H，得出點，再解出直線AC的解析式和PN的代數式，運用三角形的面積公式即可求出 PAC的面積．

（3）根據題意作圖，延長PD交軸于點G，由題（2）可得，求出，得到，連接DE，得出四邊形EOGD是矩形，再根據，得到，因而，再過點F作，可得．過點Q作交RE延長線于點H，得到，，，因而得出，再根據點F與點Q的坐標代數式，求得、，即可求出直線DF解析式．

（1）解：∵拋物線與x軸相交，

∴令，，

解得：，，

，，

∴，，，

（2）過點P作軸分別交延長線、軸于點，

過點C作交延長線于點H，點．

解出直線AC的解析式，

，

∴

（3）延長PD交軸于點G，，

，，

∵，

∴，連接DE，

∴四邊形EOGD是矩形，

∴，

∵，

∴

∴，

過點F作，

∴．

過點Q作交RE延長線于點H，，，，

∴，，，

∴，，

，，（舍），

∴，，設直線DF的解析式為，

，，

∴直線DF解析式為．