Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于點A和點B（3，0），與軸交于點C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點M是拋物線在軸下方上的動點，過點M作MN//軸交直線BC于點N，求線段MN的最大值；

（3）在（2）的條件下，當MN取最大值時，在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PBN是等腰三角形？若存在，請直接寫出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）（2，）、（2，）、（2，）、（2，）或（2，）．

【解析】

試題分析：（1）由點B、C的坐標利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

（2）設出點M的坐標以及直線BC的解析式，由點B、C的坐標利用待定系數法即可求出直線BC的解析式，結合點M的坐標即可得出點N的坐標，由此即可得出線段MN的長度關于m的函數關系式，再結合點M在x軸下方可找出m的取值范圍，利用二次函數的性質即可解決最值問題；

（3）假設存在，設出點P的坐標為（2，n），結合（2）的結論可求出點N的坐標，結合點N、B的坐標利用兩點間的距離公式求出線段PN、PB、BN的長度，根據等腰三角形的性質分類討論即可求出n值，從而得出點P的坐標．

試題解析：（1）將點B（3，0）、C（0，3）代入拋物線中，得：，解得：，∴拋物線的解析式為；

（2）設點M的坐標為（m，），設直線BC的解析式為y=kx+3，把點點B（3，0）代入y=kx+3中，得：0=3k+3，解得：k=﹣1，∴直線BC的解析式為y=﹣x+3．∵MN∥y軸，∴點N的坐標為（m，﹣m+3）．∵拋物線的解析式為=，∴拋物線的對稱軸為x=2，∴點（1，0）在拋物線的圖象上，∴1＜m＜3．∵線段MN=﹣m+3﹣（）==，∴當m=時，線段MN取最大值，最大值為；

（3）假設存在．設點P的坐標為（2，n）．

當m=時，點N的坐標為（，），∴PB==，PN=，BN==．

△PBN為等腰三角形分三種情況：

①當PB=PN時，即=，解得：n=，此時點P的坐標為（2，）；

②當PB=BN時，即=，解得：n=±，此時點P的坐標為（2，）或（2，）；

③當PN=BN時，即=，解得：n=，此時點P的坐標為（2，）或（2，）．

綜上可知：在拋物線的對稱軸l上存在點P，使△PBN是等腰三角形，點的坐標為（2，）、（2，）、（2，）、（2，）或（2，）．