Question

【題目】如圖，點P為△ABC的內心，延長AP交△ABC的外接圓于D，在AC延長線上有一點E，滿足AD2=ABAE．
求證：DE是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】證明：連接DC，DO并延長交⊙O于F，連接AF．

∵P點為△ABC的內心，

∴∠BAD=∠DAE，

又∵AD2=ABAE，即 = ，

∴△BAD∽△DAE，

∴∠ADB=∠E．

又∵∠ADB=∠ACB，

∴∠ACB=∠E，BC∥DE，

∴∠CDE=∠BCD=∠BAD=∠DAC，

又∵∠CAF=∠CDF，

∴∠FDE=∠CDE+∠CDF=∠DAC+∠CAF=∠DAF=90°，

故DE是⊙O的切線．

【解析】連接DC、AF，連接DO并延長交圓O于點F，先證△BAD∽△DAE，得到∠ADB=∠E，再由平行線的性質可證∠FDE=90°可得.解答此題的關鍵是作出輔助線，證出△BAD∽△DAE.