Question

【題目】如圖1，在四邊形ABCD中，∠DAB被對角線AC平分，且AC2=ABAD，我們稱該四邊形為“可分四邊形”，∠DAB稱為“可分角”．

（1）如圖2，若四邊形ABCD為“可分四邊形”，∠DAB為“可分角”，且∠DCB=∠DAB，則∠DAB=°．

（2）如圖3，在四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AC平分∠DAB，且∠BCD=150°，求證：四邊形ABCD為“可分四邊形”；

（3）現有四邊形ABCD為“可分四邊形”，∠DAB為“可分角”，且AC=4，BC=2，∠D=90°，求AD的長？

Answer 1

【答案】
（1）120
（2）證明：∵∠DAB=60°，AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠CAB=30°，

∴∠D+∠ACD=180°﹣30°=150°，

∵∠BCD=∠ACD+∠ACB=150°，

∴∠D=∠ACB，

∴△ADC∽△ACB．

∴AD：AC=AC：AB，

∴AC2=ABAD，

∴四邊形ABCD為“可分四邊形”

（3）解：∵四邊形ABCD為“可分四邊形”，∠DAB為“可分角”，

∴AC2=ABAD，∠DAC=∠CAB，

∴AD：AC=AC：AB，

∴△ADC∽△ACB，

∴∠D=∠ACB=90°，

∴AB= = =2 ，

∴AD= = = ．

【解析】（1）解：如圖所示：

∵AC平分∠DAB，

∴∠1=∠2，

∵AC2=ABAD，

∴AD：AC=AC：AB，

∴△ADC∽△ACB，

∴∠D=∠4，

∵∠DCB=∠DAB，

∴∠DCB=∠3+∠4=2∠1，

∵∠1+∠D+∠4=180°，

∴∠1+2∠1=180°，

解得：∠1=60°，

∴∠DAB=120°；

所以答案是：120；

【考點精析】關于本題考查的三角形的內角和外角和勾股定理的概念，需要了解三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正確答案．