Question

【題目】閱讀以下材料，并按要求完成相應地任務：

萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler)是瑞士數學家，在數學上經常見到以他的名字命名的重要常數，公式和定理，下面是歐拉發現的一個定理：在△ABC中，R和r分別為外接圓和內切圓的半徑，O和I分別為其外心和內心，則.

如圖1，⊙O和⊙I分別是△ABC的外接圓和內切圓，⊙I與AB相切分于點F，設⊙O的半徑為R，⊙I的半徑為r，外心O（三角形三邊垂直平分線的交點）與內心I（三角形三條角平分線的交點）之間的距離OI＝d，則有d2＝R2﹣2Rr．

下面是該定理的證明過程（部分）：

延長AI交⊙O于點D，過點I作⊙O的直徑MN，連接DM，AN.

∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所對的圓周角相等)，

∴△MDI∽△ANI，

∴，

∴①，

如圖2，在圖1(隱去MD，AN)的基礎上作⊙O的直徑DE，連接BE，BD，BI，IF，

∵DE是⊙O的直徑，∴∠DBE=90°，

∵⊙I與AB相切于點F，∴∠AFI=90°，

∴∠DBE=∠IFA，

∵∠BAD=∠E(同弧所對圓周角相等)，

∴△AIF∽△EDB，

∴，∴②，

任務：(1)觀察發現：， (用含R，d的代數式表示)；

(2)請判斷BD和ID的數量關系，并說明理由；

(3)請觀察式子①和式子②，并利用任務(1)，(2)的結論，按照上面的證明思路，完成該定理證明的剩余部分；

(4)應用：若△ABC的外接圓的半徑為5cm，內切圓的半徑為2cm，則△ABC的外心與內心之間的距離為 cm.

Answer 1

【答案】(1)R-d；(2)BD=ID，理由見解析；(3)見解析；(4).

【解析】

(1)直接觀察可得；

(2)由三角形內心的性質可得∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI，由圓周角定理可得∠DBC=∠CAD，再根據三角形外角的性質即可求得∠BID=∠DBI，繼而可證得BD=ID；

(3)應用(1)(2)結論即可；

(4)直接代入結論進行計算即可．

(1)∵O、I、N三點共線，

∴OI+IN＝ON，

∴IN＝ON﹣OI＝R﹣d，

故答案為：R﹣d；

(2)BD=ID，理由如下：

∵點I是△ABC的內心，

∴∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI，

∵∠DBC=∠CAD，∠BID=∠BAD+∠ABI，∠DBI=∠DBC+∠CBI，

∴∠BID=∠DBI，

∴BD=ID；

(3)由(2)知：BD=ID，

又，，

∴DE·IF=IM·IN，

∴，

∴

∴；

(4)由(3)知：，

把R=5，r=2代入得：，

∵d>0，

∴，

故答案為：.