Question

【題目】如圖，AB為半圓O的直徑，點C在半圓上，過點O作BC的平行線交AC于點E，交過點A的直線于點D，且∠D=∠BAC

（1）求證：AD是半圓O的切線；

（2）求證：△ABC∽△DOA；

（3）若BC=2，CE=，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）要證AD是半圓O的切線只要證明∠DAO=90°即可；

（2）根據兩組角對應相等的兩個三角形相似即可得證；

（3）先求出AC、AB、AO的長，由第（2）問的結論△ABC∽△DOA，根據相似三角形的性質：對應邊成比例可得到AD的長．

（1）證明：∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°，

又∵OD∥BC，

∴∠AEO=∠ACB=90°，

∴∠AOD+∠BAC=90°，

又∵∠D=∠BAC，

∴∠AOD+∠D=90°，

∴∠OAD=90°，

∴AD⊥OA，

∴AD是半圓O的切線；

（2）證明：由（1）得∠ACB=∠OAD=90°，

又∵∠D=∠BAC，

∴△ABC∽△DOA；

（3）解：∵O為AB中點，OD∥BC，

∴OE是△ABC的中位線，則E為AC中點，

∴AC=2CE，

∵BC=2，CE=，

∴AC=

∴AB=，

∴OA=AB=，

由（2）得：△ABC∽△DOA，

∴，

∴，

∴．