Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以AB為直徑的⊙O與CD切于點E，AD交⊙O于點F．

（1）求證：∠ABE＝45°；

（2）連接CF，若CE＝2DE，求tan∠DFC的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）如圖1，連接OE，根據平行四邊形的性質和切線的性質得：OE⊥AB，由OE＝OB，可知△OEB是等腰直角三角形，可得結論；

（2）如圖2，DE＝x，則CE＝2x，先根據勾股定理計算AD的長，證明△AGD∽△AFB，則，可得BF的長，最后利用等角的三角函數相等可得結論．

（1）證明：如圖1，連接OE，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∵DC是⊙O的切線，

∴OE⊥CD，

∴OE⊥AB，

∴∠EOB＝90°，

∵OE＝OB，

∴∠ABE＝45°；

（2）解：如圖2，連接OE，則OE⊥CD，

設DE＝x，則CE＝2x，

∴AB＝CD＝3x，

∴OA＝OE＝OB＝1.5x，

過D作DG⊥AB于G，

∴DG＝OE＝1.5x，OG＝DE＝x，

∴AG＝x，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AFB＝90°，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠CBF＝∠AFB＝90°，∠BCF＝∠DFC，

Rt△ADG中，BC＝AD＝，

∵∠A＝∠A，∠AFB＝∠AGD＝90°，

∴△AGD∽△AFB，

∴ ，

∴，

∴BF＝，

Rt△BFC中，tan∠DFC＝tan∠BCF＝．