Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y＝﹣x+4交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)A，過A、C兩點(diǎn)的拋物線y＝ax2+bx+4交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)B，且tan∠BAO＝．

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知E、F是線段AC上異于A、C的兩個(gè)點(diǎn)，且AE＜AF，EF＝2，D為拋物線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且DE＝DF，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，△DEF的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量m的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)∠EDF＝90°時(shí)，連接BD，P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過P作PQ⊥BD交線段BD于點(diǎn)Q，連接EQ．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，求t為何值時(shí)，PE＝QE．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）S＝﹣m2+m；（3）當(dāng)t的值為1+或1﹣時(shí)，PE＝QE．

【解析】

（1）令﹣x+4＝0，解得x＝8，令x＝0，y＝4，由tan∠BAO＝，OA＝4，得OB＝3，由以上可得點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可；

（2）點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為線段長度，再利用相似三角形找到線段間的比例關(guān)系，繼而可求出S與m的函數(shù)關(guān)系式；

（3）可利用（2）得到線段的長度，再綜合分析（3）給出的已知信息，可知△EDF為等腰直角三角形，從而得到點(diǎn)E、D的坐標(biāo)，繼而結(jié)合三角形中位線定理等知識(shí)列式求解即可.

（1）令﹣x+4＝0，解得x＝8，∴C（8，0），

令x＝0，y＝4，∴A（0，4），AC＝4，

∵tan∠BAO＝，OA＝4，∴OB＝3，

∴B（﹣3，0），

將點(diǎn)B、C代入拋物線y＝ax2+bx+4得，

，

解得，

∴拋物線得解析式為y＝﹣x2+x+4；

（2）如圖所示，過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為G，交AC于點(diǎn)K，過點(diǎn)D作EF的垂線，垂足為H，

∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)x＝m時(shí)，

y＝﹣m2+m+4，

設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，代入點(diǎn)A、C，

，

解得，

∴y＝﹣x+4，

∴K（m，﹣m+4），

∴DK＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+m，

∵△DHK∽△COA，

∴，

∴，

∴DH＝（﹣m2+m），

∴S＝EFDH＝﹣m2+m；

（3）由（2）可知，DH＝（﹣m2+m），

∵EF＝2，DE＝DF，且∠EDF＝90°，

∴DH＝，

∴＝（﹣m2+m），

解得m1＝3，m2＝5，

當(dāng)m＝3時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，不符合題意舍，

∴m＝5，

∴D（5，4），

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（k，﹣k+4），DE＝EF＝，

DE＝＝，

解得k1＝2，k2＝6，

∵E在點(diǎn)D左側(cè)，∴k＝2，

∴E（2，3），

連接BD，設(shè)BD的解析式為y＝kx+b，代入點(diǎn)B、D，

，解得，

∴直線BD的解析式為y＝x+，

過點(diǎn)E作y軸的平行線交BD于點(diǎn)N，

則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，），

∴EN＝，

連接PE并延長交BD于點(diǎn)K，

∵∠PQK＝90°，EP＝EQ，

∴∠EPQ＝∠EQP，

∴∠EKQ＝∠EQK，

∴EQ＝EK＝EP，

∴點(diǎn)E為PK的中點(diǎn)，

過點(diǎn)P作y軸的平行線交BD于點(diǎn)S，

∴PS＝2EN，

∵P（t，-t2+t+4），

∴S（t，t+），

∴PS＝-t2+t+，

∴-t2+t+＝1，

解得t1＝1+，t2＝1﹣，

∴當(dāng)t的值為1+或1﹣時(shí)，PE＝QE．