Question

【題目】在等邊△AOB中，將扇形COD按圖1擺放，使扇形的半徑OC、OD分別與OA、OB重合，OA=OB=2，OC=OD=1，固定等邊△AOB不動，讓扇形COD繞點O逆時針旋轉，線段AC、BD也隨之變化，設旋轉角為α．（0＜α≤360°）

（1）當OC∥AB時，旋轉角α=　 　度；

發現：（2）線段AC與BD有何數量關系，請僅就圖2給出證明．

應用：（3）當A、C、D三點共線時，求BD的長．

拓展：（4）P是線段AB上任意一點，在扇形COD的旋轉過程中，請直接寫出線段PC的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】（1）60或240；(2) AC=BD，理由見解析；（3）或；（4）PC的最大值=3，PC的最小值=﹣1．

【解析】分析：（1）如圖1中，易知當點D在線段AD和線段AD的延長線上時，OC∥AB，此時旋轉角α=60°或240°．

（2）結論：AC=BD．只要證明△AOC≌△BOD即可．

（3）在圖3、圖4中，分別求解即可．

（4）如圖5中，由題意，點C在以O為圓心，1為半徑的⊙O上運動，過點O作OH⊥AB于H，直線OH交⊙O于C′、C″，線段CB的長即為PC的最大值，線段C″H的長即為PC的最小值．易知PC的最大值=3，PC的最小值=﹣1．

詳解：（1）如圖1中，∵△ABC是等邊三角形，∴∠AOB=∠COD=60°，∴當點D在線段AD和線段AD的延長線上時，OC∥AB，此時旋轉角α=60°或240°．

故答案為：60或240；

（2）結論：AC=BD，理由如下：

如圖2中，∵∠COD=∠AOB=60°，∴∠COA=∠DOB．在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD；

（3）①如圖3中，當A、C、D共線時，作OH⊥AC于H．

在Rt△COH中，∵OC=1，∠COH=30°，∴CH=HD=，OH=．在Rt△AOH中，AH==，∴BD=AC=CH+AH=．

如圖4中，當A、C、D共線時，作OH⊥AC于H．

易知AC=BD=AH﹣CH=．

綜上所述：當A、C、D三點共線時，BD的長為或；

（4）如圖5中，由題意，點C在以O為圓心，1為半徑的⊙O上運動，過點O作OH⊥AB于H，直線OH交⊙O于C′、C″，線段CB的長即為PC的最大值，線段C″H的長即為PC的最小值．易知PC的最大值=3，PC的最小值=﹣1．