Question

【題目】以x為自變量的二次函數y=﹣x2+（2m+2）x﹣（m2+4m﹣3）中，m為不小于0的整數，它的圖象與x軸的交點A在原點左邊，交點B在原點右邊．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）設點C為此二次函數圖象上的一點，且滿足△ABC的面積等于10，請求出點C的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵圖象與x軸的交點A在原點左邊，交點B在原點右邊，

∴△=（2m+2）2﹣4×（﹣1）×[﹣（m2+4m﹣3）]＞0，

解得：m＜2，

∵m為不小于0的整，

∴m=0或1．

當m=0時，y=﹣x2+2x+3，其中A（﹣1，0），B（3，0）；

當m=1時，y=﹣x2+4x﹣2，不合題意；

∴二次函數的解析式為：y=﹣x2+2x+3

（2）解：∵△ABC的面積等于10，|AB|=4，

∴ |AB|h=10，

∴h=5，

∴C點的縱坐標為5或﹣5，

當C點的縱坐標為5時，﹣x2+2x+3=5，即﹣x2+2x﹣2=0，△=4﹣4×（﹣1）×（﹣2）＜0，不合題意，舍去；

當C點的縱坐標為﹣5時，﹣x2+2x+3=﹣5，即﹣x2+2x+8=0，

解得：x=4或﹣2，

所以點C的坐標為：（4，﹣5）或（﹣2，﹣5）

【解析】（1）由二次函數y=﹣x2+（2m+2）x﹣（m2+4m﹣3）中，m為不小于0的整數，它的圖象與x軸的交點A在原點左邊，交點B在原點右邊，可確定m的值，可得二次函數的解析式；（2）由△ABC的面積等于10，|AB|=4，求出點C的縱坐標，再代入解析式可得點C的橫坐標，即得點C的坐標．
【考點精析】關于本題考查的拋物線與坐標軸的交點，需要了解一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．才能得出正確答案．