Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y＝kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數y＝（n≠0）的圖象交于第二、四象限內的A、B兩點與x軸交于點C，點B坐標為（m，﹣1），AD⊥x軸，且AD＝3，tan∠AOD＝

（1）求該反比例函數和一次函數的解析式；

（2）連接OB，求S△AOC﹣S△BOC的值；

（3）點E是x軸上一點，且△AOE是等腰三角形請直接寫出滿足條件的E點的個數（寫出個數即可，不必求出E點坐標）．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣，y＝﹣x+2；（2）S△AOC﹣S△BOC＝4；（3）滿足條件的點P有四個．

【解析】

（1）先根據銳角三角函數求出OD，求出點A坐標，進而求出反比例函數解析式，再求出點B坐標，最后將點A，B坐標代入直線解析式中，即可得出結論；

（2）先求出點C坐標，進而用三角形的面積公式求解即可得出結論；

（3）分三種情況，利用等腰三角形的性質，建立方程求解即可得出結論．

（1）∵AD⊥x軸，

∴∠ADO＝90°，

在Rt△ADO中，AD＝3，tan∠AOD＝，

∴OD＝2，

∴A（﹣2，3），

∵點A在反比例函數y＝的圖象上，

∴n＝﹣2×3＝﹣6，

∴反比例函數的解析式為y＝﹣，

∵點B（m，﹣1）在反比例函數y＝﹣的圖象上，

∴﹣m＝﹣6，

∴m＝6，

∴B（6，﹣1），

將點A（﹣2，3），B（6，﹣1）代入直線y＝kx+b中，得 ，

∴ ，

∴一次函數的解析式為y＝﹣x+2；

（2）由（1）知，A（﹣2，3），直線AB的解析式為y＝﹣x+2，

令y＝0，

∴﹣x+2＝0，

∴x＝4，

∴C（4，0），

∴S△AOC﹣S△BOC＝OC|yA|﹣OC|yB|＝×4（3﹣1）＝4；

（3）設E（m，0），由（1）知，A（﹣2，3），

∴OA2＝13，OE2＝m2，AE2＝（m+2）2+9，

∵△AOE是等腰三角形，

∴①當OA＝OE時，

∴13＝m2，

p>∴m＝±，

∴E（﹣，0）或（，0），

②當OA＝AE時，13＝（m+2）2+9，

∴m＝0（舍）或m＝4，

∴E（4，0），

③當OE＝AE時，m2＝（m+2）2+9，

∴m＝﹣，

∴E（﹣，0），

即：滿足條件的點P有四個．