Question

【題目】已知拋物線經過點A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸交點于C（0，-3）．

（1）確定該拋物線的解析式，并求出頂點D的坐標；

（2）在拋物線的對稱軸上找一點M使得∠AMC＝90°，請求出滿足條件的所有的點M的坐標；

（3）拋物線上是否存在一點P，使得∠APB＝∠ACO ?若存在，請求出P點的橫坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2-2x-3，頂點D（1，-4）；（2）M（1，-1）或(1，-2)；（3）存在，P點橫坐標 1+或1-．

【解析】

（1）由拋物線與軸的兩個交點已知，設拋物線為把C的坐標代入即可得到答案，

（2）由拋物線的對稱軸，設過作交對稱軸于，利用勾股定理列方程可得到答案，

（3）以AB為底邊，作頂角為2∠ACO的等腰三角形HAB，以H為圓心，HA為半徑作⊙H，與拋物線的交點為P，則滿足∠APB=∠ACO，對稱軸與交于點 ，求解的坐標，利用HP=HA列方程求解即可．

解：（1） 拋物線經過點A（-1，0），B（3，0），

設拋物線為：

把C（0，-3）代入得：

拋物線為：

拋物線的頂點為：

（2）由（1）知：拋物線的對稱軸為： 且與軸交于點E，

設

過作交對稱軸于，

則

解得：

或

（3）存在點P的坐標使得∠APB=∠ACO成立，

如圖，以AB為底邊，作頂角為2∠ACO的等腰三角形HAB，以H為圓心，HA為半徑作⊙H，與拋物線的交點為P，則滿足∠APB=∠ACO，對稱軸與交于點 ，

當點H在AB上方時，

H（1，6）．

設P（x，y），其中

由HP=HA，得

∴

∴

∴y=0（舍去）或y=11，

由，

解得

∴P點的橫坐標為：