Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，AD平分∠CAE交⊙O于點D，且AE⊥CD，垂足為點E．

（1）求證：直線CE是⊙O的切線．

（2）若BC=3，CD=3，求弦AD的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）AD=．

【解析】試題分析：（1）連結OC，如圖，由AD平分∠EAC得到∠1=∠3，加上∠1=∠2，則∠3=∠2，于是可判斷OD∥AE，根據平行線的性質得OD⊥CE，然后根據切線的判定定理得到結論；

（2）由△CDB∽△CAD，可得，推出CD2=CBCA，可得（3）2=3CA，推出CA=6，推出AB=CA﹣BC=3，，設BD=K，AD=2K，在Rt△ADB中，可得2k2+4k2=5，求出k即可解決問題．

試題解析：（1）證明：連結OC，如圖，

∵AD平分∠EAC，

∴∠1=∠3，

∵OA=OD，

∴∠1=∠2，

∴∠3=∠2，

∴OD∥AE，

∵AE⊥DC，

∴OD⊥CE，

∴CE是⊙O的切線；

（2）∵∠CDO=∠ADB=90°，

∴∠2=∠CDB=∠1，∵∠C=∠C，

∴△CDB∽△CAD，

∴，

∴CD2=CBCA，

∴（3）2=3CA，

∴CA=6，

∴AB=CA﹣BC=3，,設BD=K，AD=2K，

在Rt△ADB中，2k2+4k2=5，

∴k=，

∴AD=．