Question

【題目】如圖，在中，為斜邊的中點，連接，點是邊上的動點（不與點重合），過點作交延長線交于點，連接，下列結論：

①若，則；

②若，則；

③和一定相似；

④若，則．

其中正確的是_____．（填寫所有正確結論的序號）

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得AD=BD，由BF=CF，BD=CD得DE是BC的垂直平分線，得BE=CE，再由勾股定理便可得結論，由此判斷結論的正誤；②證明△ABC∽△DBE，求得BE，再證明DE∥AB，得DE垂直平分BC，得CE=BE，便可判斷結論的正誤；③證明∠ABD=∠CBE，再證明BE與BC或BC與BE兩邊的比不一定等于AB與BD的比，便可判斷結論正誤；④先求出AC，進而得BD，再在Rt△BCE中，求得BE，進而由勾股定理求得結果，便可判斷正誤．

解：①為斜邊的中點，

，

，

，

，

，

故①正確；

②，

，

，

，

，

，

即．

，

，

，

，

，

，

，

垂直平分，

，

，

故②正確；

③，

，

，

但隨著點運動，的長度會改變，而

或不一定等于，

和不一定相似，

故③錯誤；

④，

，

，

，

故④正確；

故答案為：①②④．