Question

【題目】已知，拋物線（a＜0）與x軸交于A（3，0）、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸是直線x=1，D為拋物線的頂點，點E在y軸C點的上方，且CE=．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

（2）求證：直線DE是△ACD外接圓的切線；

（3）在直線AC上方的拋物線上找一點P，使，求點P的坐標；

（4）在坐標軸上找一點M，使以點B、C、M為頂點的三角形與△ACD相似，直接寫出點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1），頂點D（1，4）；（2）證明見解析；（3）P（， ）或（， ）；（4）（0，0）或（9，0）或（0，﹣）．

【解析】試題分析：（1）由對稱軸求出B的坐標，由待定系數法求出拋物線解析式，即可得出頂點D的坐標；

（2）由勾股定理和勾股定理的逆定理證出△ACD為直角三角形，∠ACD=90°．得出AD為△ACD外接圓的直徑，再證明△AED為直角三角形，∠ADE=90°．得出AD⊥DE，即可得出結論；

（3）求出直線AC的解析式，再求出線段AD的中點N的坐標，過點N作NP∥AC，交拋物線于點P，求出直線NP的解析式，與拋物線聯立，即可得出答案；

（4）由相似三角形的性質和直角三角形的性質即可得出答案．

試題解析：（1）∵拋物線的對稱軸是直線x=1，點A（3，0），∴根據拋物線的對稱性知點B的坐標為（﹣1，0），OA=3，將A（3，0），B（﹣1，0）代入拋物線解析式中得： ，解得： ，∴拋物線解析式為；當x=1時，y=4，∴頂點D（1，4）．

（2）當=0時，∴點C的坐標為（0，3），∴AC= =，CD==，AD= =，∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD為直角三角形，∠ACD=90°，∴AD為△ACD外接圓的直徑，∵點E在 軸C點的上方，且CE=，∴E（0， ），∴AE= =，DE= =，∴DE2+AD2=AE2，∴△AED為直角三角形，∠ADE=90°，∴AD⊥DE，又∵AD為△ACD外接圓的直徑，∴DE是△ACD外接圓的切線；

（3）設直線AC的解析式為y=kx+b，根據題意得： ，解得： ，∴直線AC的解析式為y=﹣x+3，∵A（3，0），D（1，4），∴線段AD的中點N的坐標為（2，2），過點N作NP∥AC，交拋物線于點P，設直線NP的解析式為y=﹣x+c，則﹣2+c=2，解得：c=4，∴直線NP的解析式為y=﹣x+4，由y=﹣x+4，y=﹣x2+2x+3聯立得：﹣x2+2x+3=﹣x+4，解得：x=或x=，∴y=，或y=，∴P（， ）或（， ）；

（4）分三種情況：①M恰好為原點，滿足△CMB∽△ACD，M（0，0）；

②M在x軸正半軸上，△MCB∽△ACD，此時M（9，0）；

③M在y軸負半軸上，△CBM∽△ACD，此時M（0，﹣ ）；

綜上所述，點M的坐標為（0，0）或（9，0）或（0，﹣ ）．