Question

【題目】已知關于x的一元二次方程.（其中m為實數）

（1）若此方程的一個非零實數根為k，

① 當k = m時，求m的值；

② 若記為y，求y與m的關系式；

（2）當＜m＜2時，判斷此方程的實數根的個數并說明理由

Answer 1

【答案】（1）

①1

②

（2）當＜m＜2時，此方程有兩個不相等的實數根

【解析】解：（1）∵ k為的實數根，

∴.※ …………………………………………1分

① 當k = m時，

∵ k為非零實數根，

∴ m ≠ 0，方程※兩邊都除以m，得.

整理，得.

解得， . ………………………………………………………2分

∵是關于x的一元二次方程，

∴ m ≠ 2.

∴ m=" 1." ……………………………………………………………………3分

（閱卷說明：寫對m= 1，但多出其他錯誤答案扣1分）

② ∵ k為原方程的非零實數根，

∴ 將方程※兩邊都除以k，得.…………………4分

整理，得.

∴.……………………………………………5分

（2）解法一： .………6分

當＜m＜2時，m＞0， ＜0.

∴＞0， ＞1＞0，Δ＞0.

∴ 當＜m＜2時，此方程有兩個不相等的實數根. ……………7分

解法二：直接分析＜m＜2時，函數的圖象，

∵ 該函數的圖象為拋物線，開口向下，與y軸正半軸相交，

∴ 該拋物線必與x軸有兩個不同交點. …………………………6分

∴ 當＜m＜2時，此方程有兩個不相等的實數根. ……………7分

解法三： .…………6分

結合關于m的圖象可知，（如圖6）

當＜m≤1時， ＜≤4；

當1＜m＜2時，1＜＜4.

∴ 當＜m＜2時， ＞0.

∴ 當＜m＜2時，此方程有兩個不相等的實數根.…7分