Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三點(diǎn)．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)D是在x軸上方的二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)，且△DAB的面積為5，求出所有滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）能否在拋物線上找點(diǎn)P，使∠APB＝90°？若能，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2）或（3，2）；（3）能，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2）或（3，2）.

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為m（m＞0），根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合△DAB的面積為5，即可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）假設(shè)成立，等點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，可利用勾股定理求出AP、BP的長(zhǎng)度，由AP2+BP2=AB2可得出此時(shí)∠APB=90°，再利用二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性即可找出點(diǎn)P的另一坐標(biāo)，此題得解．

解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三點(diǎn)，

∴，解得：，

∴該二次函數(shù)的解析式為．

（2）設(shè)點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為m（m＞0），

則，

∴m＝2．

當(dāng)y＝2時(shí)，有，

解得：x1＝0，x2＝3，

∴滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2）或（3，2）．

（3）假設(shè)能，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，

有，

∵，即AP2+BP2＝AB2，

∴∠APB＝90°，

∴假設(shè)成立，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2）．

由對(duì)稱性可知：當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，2）時(shí)，∠APB＝90°．

故滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2）或（3，2）．