Question

【題目】已知C為線段AB中點，∠ACM＝α．Q為線段BC上一動點（不與點B重合），點P在射線CM上，連接PA，PQ，記BQ＝kCP．

（1）若α＝60°，k＝1，

①如圖1，當Q為BC中點時，求∠PAC的度數；

②直接寫出PA、PQ的數量關系；

（2）如圖2，當α＝45°時．探究是否存在常數k，使得②中的結論仍成立？若存在，寫出k的值并證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①詳見解析；②PA=PQ．（2）存在，使得②中的結論成立．

【解析】

（1）①如圖1，作輔助線，構建等邊三角形，證明△ADC為等邊三角形．根據等邊三角形三線合一可得∠PAC＝∠PAD＝30°；

②根據①中得結論：∠PAC＝∠PQC＝30°，則PA＝PQ；

（2）存在k=，如圖2，作輔助線，構建全等三角形，證明△PAD≌△PQC（SAS）．可得結論．

解：（1）①如圖1，在CM上取點D，使得CD＝CA，連接AD，

∵∠ACM＝60°，

∴△ADC為等邊三角形．

∴∠DAC＝60°．

∵C為AB的中點，Q為BC的中點，

∴AC＝BC＝2BQ．

∵BQ＝CP，

∴AC＝BC＝CD＝2CP．

∴AP平分∠DAC．

∴∠PAC＝∠PAD＝30°．

②∵△ADC是等邊三角形，

∴∠ACP＝60°，

∵PC＝CQ，

∴∠PQC＝∠CPQ＝30°，

∴∠PAC＝∠PQC＝30°，

∴PA＝PQ；

（2）存在，使得②中的結論成立．

證明：過點P作PC的垂線交AC于點D．

∵∠ACM＝45°，

∴∠PDC＝∠PCD＝45°．

∴PC＝PD，∠PDA＝∠PCQ＝135°．

∵，，

∴CD＝BQ．

∵AC＝BC，

∴AD＝CQ．

∴△PAD≌△PQC（SAS）．

∴PA＝PQ．