Question

【題目】如圖所示，在中，∠C＝90°，∠A＝30°．

（1）尺規作圖：作線段AB的垂直平分線l（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）在已作的圖形中，若l分別交AB、AC及BC的延長線于點D、E、F，連接BE，求證：EF＝2DE．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：

（1）分別以點A，B為圓心，以大于AB的一半為半徑畫圓，兩圓交于兩點，過這兩點畫直線，這條直線即是線段AB的垂直平分線；

（2）先證明ED=EC，再證∠F=30°，用含30°角的直角三角形的性質即可證明.

試題解析：

解：（1）如下圖所示，直線l即為所求．

（2）證明：在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，∠ABC＝60°，l為線段AB的垂直平分線，∴EA＝EB，∴∠EBA＝∠A=30°，∠AED＝∠BED=60°，

∴∠EBC＝30°＝∠EBA，∠FEC＝60°．

又∵ED⊥AB，EC⊥BC，∴ED＝EC．

在Rt△ECF中，∠FEC＝60°，∴∠EFC＝30°，∴EF＝2EC，∴EF＝2ED．