Question

【題目】如圖，AB是以O為圓心的半圓的直徑，半徑CO⊥AO，點M是上的動點，且不與點A、C、B重合，直線AM交直線OC于點D，連結OM與CM．

（1）若半圓的半徑為10．

①當∠AOM=60°時，求DM的長；

②當AM=12時，求DM的長．

（2）探究：在點M運動的過程中，∠DMC的大小是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①DM= 10；②MD=；（2）∠CMD=45°.

【解析】

（1）①當時，所以△AMO是等邊三角形，從而可知∠MOD=30°，∠D=30°，所以DM=OM=10；

②過點M作MF⊥OA于點F，設AF=x， 利用勾股定理即可求出x的值．易證明△AMF∽△ADO，從而可知AD的長度，進而可求出MD的長度．

（2）根據點M的位置分類討論，然后利用圓周角定理以及圓內接四邊形的性質即可求出答案．

（1）①當∠AOM=60°時，

∵

∴△AMO是等邊三角形，

∴∠A=∠MOA=60°，

∴∠MOD=30°，∠D=30°，

∴DM=OM=10

②過點M作MF⊥OA于點F，

設

∴

∵

由勾股定理可知：

∴

∴

∵MF∥OD，

∴△AMF∽△ADO，

∴

∴

∴

（2）當點M位于之間時，

連接BC，

∵C是的中點，

∴∠B=45°，

∵四邊形AMCB是圓內接四邊形，

此時∠CMD=∠B=45°，

當點M位于之間時，

連接BC，

由圓周角定理可知：∠CMD=∠B=45°

綜上所述，∠CMD=45°