Question

【題目】如圖，已知是的直徑，弦于點，過的延長線上一點作的切線交的延長線于點，切點為點，連接交于點．

（1）求證：是等腰三角形；

（2）若，求證：；

（3）在（2）的條件下，若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）如圖1，連接OG．根據切線性質及CD⊥AB，可以推出∠KGE=∠AKH=∠GKE，根據等角對等邊得到KE=GE，即可得到結果；
（2）AC與EF平行，理由為：如圖2所示，連接GD，由∠KGE=∠GKE，及KG2=KDGE，利用兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似可得出△GKD與△EKG相似，又利用同弧所對的圓周角相等得到∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，從而得到AC∥EF；
（3）如圖3所示，連接OG，OC，先求出KE=GE，再求出圓的半徑，根據勾股定理與垂徑定理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的長度．

解：（1）證明：如圖1，連接，

為的切線，

，

，

，

又，

，

，

，

∴△EKG是等腰三角形；

（2）證明：如圖2，連接，

，

，

又，

，

，

又，

，

；

（3）解：如圖3，連接，，

由，可設，，則，

，，

，

，

在中，根據勾股定理得，

即，

解得或（不合題意，舍去），

，，

設的半徑為，在中，，，，

由勾股定理得，

即，

解得，

為的切線，

為直角三角形，

在中，，

，

．