Question

如圖，AB為圓O的直徑，C為圓O上一點，AD和過C點的直線互相垂直，垂足為D，且AC平分∠DAB，延長AB交DC于點E．
（1）判定直線DE與圓O的位置關系，并說明你的理由；
（2）求證：AC²=AD•AB；
（3）以下兩個問題任選一題作答．（若兩個問題都答，則以第一問的解答評分）
①若CF⊥AB于點F，試討論線段CF、CE和DE三者的數量關系；
②若EC=5，EB=5，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

（1）解：DE是⊙O的切線．
連接OC，
∵OA、OC是⊙O的半徑，
∴∠OAC=∠OCA．
∵AC是∠DAB的平分線，
∴∠OAC=∠CAD．
∴∠OCA=∠CAD．
∴OC∥AD．
∵AD⊥DE，
∴OC⊥DE．
故DE是⊙O的切線．

（2）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∵AD⊥DE，∠ADC=90°，
∴∠ACB=∠ADC．
∵∠DAC=∠CAB，
∴△DAC∽△CAB．
∴AC²=AD•AB．

（3）解：①CF+CE=DE．
∵AC是∠DAB的平分線，且CD⊥AD、CF⊥AF，
∴CF=CD．
∵DC+CE=DE，
∴CF+CE=DE．
②∵DE是⊙O的切線，
∴∠BCE=∠CAB．
∵∠CEB=∠CEB，
∴△BCE∽△CAE．
∴．
∴AE=15，AB=10，，即CA=BC．
則在Rt△ABC中，由CA²+BC²=AB²解得：
BC=5，CA=5．
∴S_△ABC=．
∴陰影部分的面積=半圓的面積-S_△ABC=．
分析：（1）DE是⊙O的切線．需連接OC，證明OC⊥DE即可；
（2）證明△DAC∽△CAB即可；
（3）①CF+CE=DE，由角平分線的性質可得，CF=CD，而DC+CE=DE，故CF+CE=DE；
②根據陰影部分的面積=半圓的面積-S_△ABC，即可求解．
點評：此題綜合考查了相似三角形的判定，切線的判定和圓周角定理的綜合運用．