Question

如圖，在平面直角坐標系內，以y軸為對稱軸的拋物線經過直y=-

3

3

x+2與y軸的交點A和點M（-

3

2

，0）．
（1）求這條拋物線所對應的二次函數的關系式；
（2）將（1）中所求拋物線沿x軸向右平移．①在題目所給的圖中畫出沿x軸平移后經過原點的拋物線大致圖象；②設沿x軸向右平移后經過原點的拋物線對稱軸與直線AB相交于C點．判斷以O為圓心，OC為半徑的圓與直線AB的位置關系，并說明理由；
（3）P點是沿x軸向右平移后經過原點的拋物線對稱軸上的點，求P點的坐標，使得以O，A，C，P四點為頂點的四邊形是平行四邊形．

Answer 1

分析：（1）先根據直線的解析式求出拋物線頂點A的坐標，然后根據M的坐標求出拋物線的解析式．
（2）根據（1）得出的拋物線可設出平移后拋物線的解析式，然后將原點坐標代入即可求出平移后函數的解析式．進而可求出向右平移后拋物線對稱軸與直線AB的交點．然后證OC是否與AB垂直即可．
（3）存在要分兩種情況進行討論：
①以OA、AC為邊，那么將C點向下平移OA個單位即可得出P點的坐標．
②以OA為邊，AC為對角線，將C點坐標向上平移OA個單位即可得出P點坐標．

解答：解：（1）易知：A（0，2），
因此可設拋物線的解析式為y=ax²+2，已知拋物線過M點，
則有：a×（-

3

2

）²+2=0，解得a=-

8

3

；
∴拋物線的解析式為y=-

8

3

x²+2．

（2）設向右平移h（h＞0）個單位，則拋物線的解析式為y=-

8

3

（x-h）²+2，
已知拋物線過原點則有：0=-

8

3

×h²+2，
解得h=

3

2

；
∴向右平移后拋物線的解析式為y=-

8

3

（x-

3

2

）²+2；
∴其對稱軸為x=

3

2

易知C點坐標為（

3

2

，

3

2

），
∴OC=

3

在三角形OAC，OC=

3

，OA=2，AC=1，
∴OA²=OC²+AC²，
∴OC⊥AB，
∴以O為圓心，OC為半徑的圓與直線AB相切．

（3）P（

3

2

，-

1

2

）或（

3

2

，

7

2

）．

點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、二次函數圖象的平移、直線與圓的位置關系、平行四邊形的判定等知識點．綜合性較強，考查學生數形結合的數學思想方法．