Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以y軸為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線經(jīng)過(guò)直y=-x+2與y軸的交點(diǎn)A和點(diǎn)M（-，0）．
（1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）將（1）中所求拋物線沿x軸向右平移．①在題目所給的圖中畫(huà)出沿x軸平移后經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線大致圖象；②設(shè)沿x軸向右平移后經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線對(duì)稱(chēng)軸與直線AB相交于C點(diǎn)．判斷以O(shè)為圓心，OC為半徑的圓與直線AB的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）P點(diǎn)是沿x軸向右平移后經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)，使得以O(shè)，A，C，P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)直線的解析式求出拋物線頂點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后根據(jù)M的坐標(biāo)求出拋物線的解析式．
（2）根據(jù)（1）得出的拋物線可設(shè)出平移后拋物線的解析式，然后將原點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出平移后函數(shù)的解析式．進(jìn)而可求出向右平移后拋物線對(duì)稱(chēng)軸與直線AB的交點(diǎn)．然后證OC是否與AB垂直即可．
（3）存在要分兩種情況進(jìn)行討論：
①以O(shè)A、AC為邊，那么將C點(diǎn)向下平移OA個(gè)單位即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
②以O(shè)A為邊，AC為對(duì)角線，將C點(diǎn)坐標(biāo)向上平移OA個(gè)單位即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：（1）易知：A（0，2），
因此可設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+2，已知拋物線過(guò)M點(diǎn)，
則有：a×（-）²+2=0，解得a=-；
∴拋物線的解析式為y=-x²+2．

（2）設(shè)向右平移h（h＞0）個(gè)單位，則拋物線的解析式為y=-（x-h）²+2，
已知拋物線過(guò)原點(diǎn)則有：0=-×h²+2，
解得h=；
∴向右平移后拋物線的解析式為y=-（x-）²+2；
∴其對(duì)稱(chēng)軸為x=
易知C點(diǎn)坐標(biāo)為（，），
∴OC=
在三角形OAC，OC=，OA=2，AC=1，
∴OA²=OC²+AC²，
∴OC⊥AB，
∴以O(shè)為圓心，OC為半徑的圓與直線AB相切．

（3）P（，-）或（，）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)圖象的平移、直線與圓的位置關(guān)系、平行四邊形的判定等知識(shí)點(diǎn)．綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．