Question

【題目】四邊形 ABCD 中，E 為邊 BC 上一點，F 為邊 CD 上一點，且∠AEF=90°．

（1）如圖 1，若 ABCD 為正方形，E 為 BC 中點，求證：．

（2）若 ABCD 為平行四邊形，∠AFE=∠ADC，

①如圖 2，若∠AFE=60°，求的值；

②如圖 3，若 AB=BC，EC=2CF．直接寫出 cos∠AFE 值為　　　．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）

【解析】

（1）如圖1中，設正方形的邊長為2a．只要證明△ABE∽△ECF，可得，求出CF、DF即可解決問題；

（2）如圖2中，在AD上取一點H，使得FH＝DF．只要證明△AEF是等邊三角形，推出AF＝2EF，再證明△AHF∽△FCE，可得EC：HF＝EF：AF＝1：2;

（3）如圖3，作FT＝FD交AD于點T，作FH⊥AD于H，證△FCE∽△ATF，設CF＝2，則CE＝4，可設AT＝x，則TF＝2x，AD＝CD＝2x＋2，DH＝DT＝，分別用含x的代數式表示出∠AFE和∠D的余弦值，列出方程，求出x的值，即可求出結論．

（1）證明：如圖1中，設正方形的邊長為2a．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B＝∠C＝90°，

∵∠AEF＝90°，

∴∠AEB＋∠FEC＝90°，∠FEC＋∠EFC＝90°，

∴∠AEB＝∠EFC，

∴△ABE∽△ECF，

∴

∵BE＝EC＝a，AB＝CD＝2a，

∴CF＝a，DF＝CDCF＝a，

∴ ；

（2）如圖2中，在AD上取一點H，使得FH＝DF，

∵∠AEF＝90°，∠AFE＝∠D＝60°，

∴AF＝2EF，

∵FH＝DF，

∴△DHF是等邊三角形，

∴∠FHD＝60°，

∴∠AHF＝120°，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠C＝180°∠D＝120°，

∴∠AHF＝∠C，

∵∠AFC＝∠D＋∠FAH＝∠EFC＋∠AFE，∠AFE＝∠D，

∴∠HAF＝∠EFC，

∴△AHF∽△FCE，

∴EC：HF＝EF：AF＝1：2，

∴；

如圖3，作FT＝FD交AD于點T，作FH⊥AD于H，

則∠FTD＝∠FDT，

∴180°∠FTD＝180°∠D，

∴∠ATF＝∠C，

又∵∠TAF＋∠D＝∠AFE＋∠CFE，且∠D＝∠AFE，

∴∠TAF＝∠CFE，

∴△FCE∽△ATF，

∴＝，

設CF＝2，則CE＝4，可設AT＝x，則TF＝2x，AD＝CD＝2x＋2，

∴DH＝DT＝，且，

由cos∠AFE＝cos∠D，得，

解得x＝6，（x=0舍去）

∴cos∠AFE＝＝．