Question

【題目】閱讀理解：在平面直角坐標系中，若兩點P、Q的坐標分別是P（x1，y1）、

Q（x2，y2），則P、Q這兩點間的距離為|PQ|=．如P（1，2），Q（3，4），則|PQ|==2．

對于某種幾何圖形給出如下定義：符合一定條件的動點形成的圖形，叫做符合這個條件的點的軌跡．如平面內到線段兩個端點距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線．

解決問題：如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，直線y=kx+交y軸于點A，點A關于x軸的對稱點為點B，過點B作直線l平行于x軸．

（1）到點A的距離等于線段AB長度的點的軌跡是　 　；

（2）若動點C（x，y）滿足到直線l的距離等于線段CA的長度，求動點C軌跡的函數表達式；

問題拓展：（3）若（2）中的動點C的軌跡與直線y=kx+交于E、F兩點，分別過E、F作直線l的垂線，垂足分別是M、N，求證：①EF是△AMN外接圓的切線；②為定值．

Answer 1

【答案】（1）x2+（y﹣）2=1；（2）動點C軌跡的函數表達式y=x2；（3）①證明見解析；②證明見解析.

【解析】

（1）利用兩點間的距離公式即可得出結論；

（2）利用兩點間的距離公式即可得出結論；

（3）①先確定出m+n=2k，mn=﹣1，再確定出M（m，﹣），N（n，﹣），進而判斷出△AMN是直角三角形，再求出直線AQ的解析式為y=﹣x+，即可得出結論；

②先確定出a=mk+，b=nk+，再求出AE=ME=a+=mk+1，AF=NF=b+=nk+1，即可得出結論．

（1）設到點A的距離等于線段AB長度的點D坐標為（x，y），

∴AD2=x2+（y﹣）2，

∵直線y=kx+交y軸于點A，

∴A（0，），

∵點A關于x軸的對稱點為點B，

∴B（0，﹣），

∴AB=1，

∵點D到點A的距離等于線段AB長度，

∴x2+（y﹣）2=1，

故答案為：x2+（y﹣）2=1；

（2）∵過點B作直線l平行于x軸，

∴直線l的解析式為y=﹣，

∵C（x，y），A（0，），

∴AC2=x2+（y﹣）2，點C到直線l的距離為：（y+），

∵動點C（x，y）滿足到直線l的距離等于線段CA的長度，

∴x2+（y﹣）2=（y+）2，

∴動點C軌跡的函數表達式y=x2；

（3）①如圖，

設點E（m，a）點F（n，b），

∵動點C的軌跡與直線y=kx+交于E、F兩點，

∴，

∴x2﹣2kx﹣1=0，

∴m+n=2k，mn=﹣1，

∵過E、F作直線l的垂線，垂足分別是M、N，

∴M（m，﹣），N（n，﹣），

∵A（0，），

∴AM2+AN2=m2+1+n2+1=m2+n2+2=（m+n）2﹣2mn+2=4k2+4，

MN2=（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn=4k2+4，

∴AM2+AN2=MN2，

∴△AMN是直角三角形，MN為斜邊，

取MN的中點Q，

∴點Q是△AMN的外接圓的圓心，

∴Q（k，﹣），

∵A（0，），

∴直線AQ的解析式為y=﹣x+，

∵直線EF的解析式為y=kx+，

∴AQ⊥EF，

∴EF是△AMN外接圓的切線；

②∵點E（m，a）點F（n，b）在直線y=kx+上，

∴a=mk+，b=nk+，

∵ME，NF，EF是△AMN的外接圓的切線，

∴AE=ME=a+=mk+1，AF=NF=b+=nk+1，

∴==2，

即：為定值，定值為2．