Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為平行四邊形紙片．把紙片ABCD折疊，使點B恰好落在CD邊上，折痕為AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．

（1）求證：平行四邊形ABCD是矩形；

（2）如圖2，以點B為坐標原點，水平方向、豎直方向為x軸、y軸建立平面直角坐標系，求直線AF的解析式；

（3）在（2）中的坐標系內是否存在這樣的點P，使得以點P、A、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若不存在，請說明理由；若存在，直接寫出點P的坐標。

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) y=-2x+10 (3)見解析.

【解析】

（1）根據翻折變換的對稱性可知AE=AB，在△ADE中，利用勾股定理逆定理證明三角形為直角三角形，再根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形證明即可；
（2）設BF為x，分別表示出EF、EC、FC，然后在△EFC中利用勾股定理列式進行計算，而后得出F點的坐標，利用待定系數法求解即可；
（3）分三種情況：①當以AE為對角線時；②當以AF為對角線時；③當以EF為對角線時，討論解答即可.

（1）證明：∵把紙片ABCD折疊，使點B恰好落在CD邊上，
∴AE=AB=10，AE2=102=100，
又∵AD2+DE2=82+62=100，
∴AD2+DE2=AE2，
∴△ADE是直角三角形，且∠D=90°，
又∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴平行四邊形ABCD是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）；

（2）解：設BF=x，則EF=BF=x，EC=CD-DE=10-6=4cm，FC=BC-BF=8-x，
在Rt△EFC中，EC2+FC2=EF2，
即42+（8-x）2=x2，
解得x=5，
故BF=5cm；

∴F（5，0），易求直線AF的解析式為：y=-2x+10;
（3）如圖所示：

由題意得：A(0,10), E(8,4),F(5,0)

①當以AE為對角線時，

∵四邊形AFE為平行四邊形，∴AF=E==5,EF=A=,∵F(5,0),E(8,4),可以看作點F的坐標向右平移3個單位，再向上平移4個單位得到，∴由A(0,10)向右平移3個單位，再向上平移4個單位得到點(0+3,10+4),即(3,14);

②當以AF為對角線時，

∵四邊形AEF為平行四邊形，∴AF=F,EF=A,∵A(0,10),E(8,4),可以看作點E的坐標向左平移8個單位，向上平移6個單位，得到，∴由F(5,0)向左平移8個單位，再向上平移6個單位得到點(5-8,0+6),即(-3,6);

③當以EF為對角線時，

∵四邊形AEF為平行四邊形，∴AF=F,AF=E,∵A(0,10),E(8,4),可以看作點A的坐標向右平移8個單位，再向下平移6個單位得到，∴由F(5,0) 向右平移8個單位，再向下平移6個單位得到點(5+8,0-6),即(13,-6);

綜上所述：P1(3，14)，P2(-3，6)，P3(13，-6)