Question

【題目】如圖1，關于x的二次函數y=﹣x2+bx+c經過點A（﹣3，0），點C（0，3），點D為二次函數的頂點，DE為二次函數的對稱軸，E在x軸上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）DE上是否存在點P到AD的距離與到x軸的距離相等？若存在求出點P，若不存在請說明理由；

（3）如圖2，DE的左側拋物線上是否存在點F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出點F的坐標，若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3（2）（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣﹣1）；（3）F（，）

【解析】分析：（1）把A、C兩點坐標代入可求得b、c，可求得拋物線解析式；

（2）當點P在∠DAB的平分線上時，過P作PM⊥AD，設出P點坐標，可表示出PM、PE，由角平分線的性質可得到PM=PE，可求得P點坐標；當點P在∠DAB外角平分線上時，同理可求得P點坐標；

（3）可先求得△FBC的面積，過F作FQ⊥x軸，交BC的延長線于Q，可求得FQ的長，可設出F點坐標，表示出B點坐標，從而可表示出FQ的長，可求得F點坐標．

詳解：（1）∵二次函數y=﹣x2+bx+c經過點A（﹣3，0），點C（0，3），

∴，解得，

∴拋物線的解析式y=﹣x2﹣2x+3，

（2）存在，

當P在∠DAB的平分線上時，如圖1，作PM⊥AD，

設P（﹣1，m），則PM=PDsin∠ADE=（4﹣m），PE=m，

∵PM=PE，

∴（4﹣m）=m，m=﹣1，

∴P點坐標為（﹣1，﹣1）；

當P在∠DAB的外角平分線上時，如圖2，作PN⊥AD，

設P（﹣1，n），則PN=PDsin∠ADE=（4﹣n），PE=﹣n，

∵PN=PE，

∴（4﹣n）=﹣n，n=﹣﹣1，

∴P點坐標為（﹣1，﹣﹣1）；

綜上可知存在滿足條件的P點，其坐標為（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣﹣1）；

（3）∵拋物線的解析式y=﹣x2﹣2x+3，

∴B（1，0），

∴S△EBC=EBOC=3，

∵2S△FBC=3S△EBC，

∴S△FBC=，

過F作FQ⊥x軸于點H，交BC的延長線于Q，過F作FM⊥y軸于點M，如圖3，

∵S△FBC=S△BQH﹣S△BFH﹣S△CFQ=HBHQ﹣BHHF﹣QFFM=BH（HQ﹣HF）﹣QFFM=BHQF﹣QFFM=QF（BH﹣FM）=FQOB=FQ=，

∴FQ=9，

∵BC的解析式為y=﹣3x+3，

設F（x0，﹣x02﹣2x0+3），

∴﹣3x0+3+x02+2x0﹣3=9，

解得：x0=或（舍去），

∴點F的坐標是（，），

∵S△ABC=6＞，

∴點F不可能在A點下方，

綜上可知F點的坐標為（，）．