Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點D，E在⊙O上，∠A=2∠BDE，點C在AB的延長線上，∠C=∠ABD．

（1）求證：CE是⊙O的切線；

（2）若BF=2，EF=，求⊙O的半徑長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：（1）連接OE，首先得出△ABD∽△OCE，進而推出∠OCE=90°，即可得到結論；

（2）連接BE，得出△OBE∽△EBF，再利用相似三角形的性質得出OB的長，即可得到結論．

詳解：（1）證明：連接OE，

則∠BOE=2∠BDE，又∠A=2∠BDE，

∴∠BOE=∠A，

∵∠C=∠ABD，∠A=∠BOE，

∴△ABD∽△OCE

∴∠ADB=∠OEC，

又∵AB是直徑，

∴∠OEC=∠ADB=90°

∴CE與⊙O相切；

（2）連接EB，則∠A=∠BED，

∵∠A=∠BOE，

∴∠BED=∠BOE，

在△BOE和△BEF中，

∠BEF=∠BOE，∠EBF=∠OBE，

∴△OBE∽△EBF，

∴，則，

∵OB=OE，

∴EB=EF，

∴，

∵BF=2，EF=，

∴，

∴OB=．