Question

【題目】在△ABC中，∠ACB=90°，經過點C的⊙O與斜邊AB相切于點P．

（1）如圖①，當點O在AC上時，試說明2∠ACP=∠B；

（2）如圖②，AC=8，BC=6，當點O在△ABC外部時，求CP長的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）2∠ACP=∠B；（2）當點O在△ABC外時，＜CP≤8．

【解析】分析：（1）根據BC與AC垂直得到BC與圓相切，再由AB與相切于點P，利用切線長定理得到，利用等邊對等角得到一對角相等，再由等量代換即可得證；
（2）在中，利用勾股定理求出AB的長，根據AC與BC垂直，得到BC與相切，連接連接OP、AO，再由AB與相切，得到OP垂直于AB，設OC=x，則OP=x，OB=BCOC=6x，求出PA的長，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出BO的長，根據AC=AP，OC=OP，得到AO垂直平分CP，根據面積法求出CP的長，由題意可知，當點P與點A重合時，CP最長，即可確定出CP的范圍．

詳解：(1)當點O在AC上時，OC為的半徑，

∵BC⊥OC，且點C在上，

∴BC與相切,

∵與AB邊相切于點P，

∴BC=BP，

∴

∵

∴

即2∠ACP=∠B；

(2)在△ABC中,

如圖，當點O在CB上時，OC為的半徑，

∵AC⊥OC,且點C在上,

∴AC與相切，

連接OP、AO，

∵與AB邊相切于點P，

∴OP⊥AB，

設OC=x，則OP=x，OB=BCOC=6x，

∵AC=AP，

∴BP=ABAP=108=2，

在△OPA中,

根據勾股定理得：,即

解得：

在△ACO中,

∴

∵AC=AP，OC=OP，

∴AO垂直平分CP，

∴根據面積法得： 則符合條件的CP長大于

由題意可知，當點P與點A重合時，CP最長，

綜上,當點O在△ABC外時,