Question

【題目】如圖，AB是⊙O的弦，D為半徑OA的中點，過D作CD⊥OA交弦AB于點E，交⊙O于點F，且BC是⊙O的切線．

（1）求證：CE=CB；

（2）連接AF，BF，求∠ABF的正弦值；

（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）∠ABF的正弦值是；（3）⊙O的半徑是．

【解析】

（1）連接OB，由圓的半徑相等和切線的性質可得∠AED=∠CBE，即可證明CE=CB；

（2）連接OF，AF，BF，可證△OAF是等邊三角形，再利用圓周角定理可得∠ABF=30°，即可得出結論；

（3）過點C作CG⊥BE于點G，由CE=CB，可得EG=BE=5，再由Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理即可得出結論.

（1）證明：連接OB，如圖，

∵OA=OB，

∴∠DAE=∠OBA，

∵BC切⊙O于B，

∴∠OBC=90°，

∴∠OBA+∠CBE=90°，

∵DC⊥OA，

∴∠ADE=90°，

∴∠DAE+∠AED=90°，

∴∠AED=∠CBE=∠CEB，

∴CE=CB；

（2）解：連接OF，AF，BF，如圖，

∵DA=DO，CD⊥OA，

∴AF=OF，

∵OA=OF，

∴△OAF是等邊三角形，

∴∠AOF=60°，

∴∠ABF=∠AOF=30°，

即∠ABF的正弦值是；

（3）過點C作CG⊥BE于點G，由CE=CB，如圖

∴EG=BE=5，
又∵Rt△ADE∽Rt△CGE，
∴sin∠ECG=sin∠A=，
∴，
∴，
又∵CD=15，CE=13，
∴DE=2，
∵Rt△ADE∽Rt△CGE，

∴，
∴，∴⊙O的半徑為．