Question

【題目】等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC,點A、點B分別是y軸、x軸上兩個動點，直角邊AC交x軸于點D，斜邊BC交y軸于點E；

（1）如圖（1），已知C點的橫坐標為-1，直接寫出點A的坐標；

（2）如圖（2）， 當等腰Rt△ABC運動到使點D恰為AC中點時，連接DE，求證：∠ADB＝∠CDE；

（3）如圖（3）， 若點A在x軸上，且A（-4，0），點B在y軸的正半軸上運動時，分別以OB、AB為直角邊在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，連結CD交y軸于點P,問當點B在y軸的正半軸上運動時，BP的長度是否變化？若變化請說明理由，若不變化，請求出BP的長度.

Answer 1

【答案】（1）A（0，1）；（2）證明見解析；（3）BP的長度不變；理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）過點C作軸于點F，易證，∴CF＝OA＝1，∴A（0，1）；

（2）過點C作交y軸于點G，易證，則可得CG＝AD＝CD，由于∠ADB＝∠CGA，

∠DCE＝∠GCE＝45°，可證，則∠CDE＝∠AGC，∴∠ADB＝∠CDE；

（3）過點C作CE⊥y軸于點E，∵∠BAC＝90°，∴∠CBE+∠ABO＝90°，可證△CBE≌△BAO,∴CE＝BO,BE＝AO＝4,∵BD＝BO,∴CE＝BD.可證△CPE≌△DPB.∴BP＝EP＝2 .

試題解析：

（1）如圖，過點C作軸于點F，易證（AAS），

∴CF＝OA＝1，

∴A（0，1）；

（2）如圖，過點C作交y軸于點G，則（ASA），

∴CG＝AD＝CD，∠ADB＝∠CGA，

∵∠DCE＝∠GCE＝45°，

∴（SAS），

∴∠CDE＝∠AGC，

∴∠ADB＝∠CDE；

（4）BP的長度不變，理由如下：

過點C作CE⊥y軸于點E，

∵∠BAC＝90°，

∴∠CBE+∠ABO＝90°，

∵∠BAO+∠ABO＝90°，

∴∠CBE＝∠BAO.

∵∠CEB＝∠AOB＝90°,AB＝AC,

∴△CBE≌△BAO（AAS）,

∴CE＝BO,BE＝AO＝4,

∵BD＝BO,∴CE＝BD.

∵∠CEP＝∠DBP＝90°, ∠CPE＝∠DPB,

∴△CPE≌△DPB（AAS）.

∴BP＝EP＝2 .