Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，E，F分別是BC，AC的中點，以AC為斜邊作Rt△ADC，若∠CAD＝∠BAC＝45°，則下列結論：①CD∥EF；②EF＝DF；③DE平分∠CDF；④∠DEC＝30°；⑤AB＝CD；其中正確的是_____（填序號）

Answer 1

【答案】①②③⑤

【解析】

根據三角形中位線定理得到EF＝AB，EF∥AB，根據直角三角形的性質得到DF＝AC，根據三角形內角和定理、勾股定理計算即可判斷．

∵E，F分別是BC，AC的中點，

∴EF＝AB，EF∥AB，

∵∠ADC＝90°，∠CAD＝45°，

∴∠ACD＝45°，

∴∠BAC＝∠ACD，

∴AB∥CD，

∴EF∥CD，故①正確；

∵∠ADC＝90°，F是AC的中點，

∴DF＝CF=AC，

∵AB=AC，EF＝AB，

∴EF＝DF，故②正確；

∵∠CAD=∠ACD=45°，點F是AC中點，

∴△ACD是等腰直角三角形，DF⊥AC，∠FDC=45°，

∴∠DFC=90°，

∵EF//AB，

∴∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°，

∴∠EFD=∠EFC+∠DFC=135°，

∴∠FED＝∠FDE＝22.5°，

∵∠FDC＝45°，

∴∠CDE=∠FDC-∠FDE=22.5°，

∴∠FDE=∠CDE，

∴DE平分∠FDC，故③正確；

∵AB＝AC，∠CAB＝45°，

∴∠B＝∠ACB＝67.5°，

∴∠DEC＝∠FEC﹣∠FED＝45°，故④錯誤；

∵△ACD是等腰直角三角形，

∴AC2=2CD2，

∴AC=CD，

∵AB=AC，

∴AB＝CD，故⑤正確；

故答案為：①②③⑤．