Question

【題目】如圖，拋物線y=-x2-2x+3 的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求A、B、C的坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)H是第二象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，且△HAB的面積是6，求點(diǎn)H的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)M為線段AB上一點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，與直線AC交于點(diǎn)E，與拋物線交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB交拋物線于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥x軸于點(diǎn)N．若點(diǎn)P在點(diǎn)Q左邊，當(dāng)矩形PQMN的周長(zhǎng)最大時(shí)，求△AEM的面積．

Answer 1

【答案】（1）A（-3，0），B（1，0），C（0，3）；（2）H（-2，3）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）通過(guò)解析式即可得出C點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，解方程得出方程的解，即可求得A、B的坐標(biāo)．

（2）根據(jù)AB的長(zhǎng)和三角形面積求得H的縱坐標(biāo)為3，代入解析式即可求得橫坐標(biāo)；

（3）設(shè)M點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則PM=-m2-2m+3，MN=（-m-1）×2=-2m-2，矩形PMNQ的周長(zhǎng)d=-2m2-8m+2，將-2m2-8m+2配方，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出m的值，然后求得直線AC的解析式，把x=m代入可以求得三角形的邊長(zhǎng)，從而求得三角形的面積．

試題解析：（1）由拋物線y=-x2-2x+3可知，C（0，3），

令y=0，則0=-x2-2x+3，解得x=-3或x=1，

∴A（-3，0），B（1，0）．

（2）∵A（-3，0），B（1，0）．

∴AB=4，

∵△HAB的面積是6，點(diǎn)H是第二象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，

∴H的縱坐標(biāo)為3，

把y=3代入y=-x2-2x+3得3=-x2-2x+3，解得x1=0，x2=-2，

∴H（-2，3）；

（3）由拋物線y=-x2-2x+3可知，對(duì)稱軸為x=-1，

設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則PM=-m2-2m+3，MN=（-m-1）×2=-2m-2，

∴矩形PMNQ的周長(zhǎng)=2（PM+MN）=（-m2-2m+3-2m-2）×2=-2m2-8m+2=-2（m+2）2+10，

∴當(dāng)m=-2時(shí)矩形的周長(zhǎng)最大．

∵A（-3，0），C（0，3），設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，

則解得：，

∴解析式y(tǒng)=x+3，當(dāng)x=-2時(shí)，則E（-2，1），

∴EM=1，AM=1，

∴S=×AM×EM=．