Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于點（點分別在軸的左右兩側）兩點，與軸的正半軸交于點,頂點為,已知點.

⑴.求點的坐標；

⑵.判斷△的形狀，并說明理由；

⑶.將△沿軸向右平移個單位（）得到△.△與△重疊部分（如圖中陰影）面積為,求與的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）B（3，0）．C（0，3）；（2）△CDB為直角三角形．理由見解析；（3）S=．

【解析】

試題分析：（1）首先用待定系數法求出拋物線的解析式，然后進一步確定點B，C的坐標；

（2）分別求出△CDB三邊的長度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB為直角三角形；

（3）△COB沿x軸向右平移過程中，分兩個階段：

（I）當0＜t≤時，如答圖2所示，此時重疊部分為一個四邊形；

（II）當＜t＜3時，如答圖3所示，此時重疊部分為一個三角形．

試題解析：（1）∵點A（-1，0）在拋物線y=-（x-1）2+c上，

∴0=-（-1-1）2+c，得c=4，

∴拋物線解析式為：y=-（x-1）2+4，

令x=0，得y=3，∴C（0，3）；

令y=0，得x=-1或x=3，∴B（3，0）．

（2）△CDB為直角三角形．理由如下：

由拋物線解析式，得頂點D的坐標為（1，4）．

如答圖1所示，過點D作DM⊥x軸于點M，則OM=1，DM=4，BM=OB-OM=2．

過點C作CN⊥DM于點N，則CN=1，DN=DM-MN=DM-OC=1．

在Rt△OBC中，由勾股定理得：BC=；

在Rt△CND中，由勾股定理得：CD=；

在Rt△BMD中，由勾股定理得：BD=．

∵BC2+CD2=BD2，

∴△CDB為直角三角形（勾股定理的逆定理）．

（3）設直線BC的解析式為y=kx+b，∵B（3，0），C（0，3），

∴，

解得k=-1，b=3，

∴y=-x+3，

直線QE是直線BC向右平移t個單位得到，

∴直線QE的解析式為：y=-（x-t）+3=-x+3+t；

設直線BD的解析式為y=mx+n，∵B（3，0），D（1，4），

∴，

解得：m=-2，n=6，

∴y=-2x+6．

連接CQ并延長，射線CQ交BD于點G，則G（，3）．

在△COB向右平移的過程中：

（I）當0＜t≤時，如答圖2所示：

設PQ與BC交于點K，可得QK=CQ=t，PB=PK=3-t．

設QE與BD的交點為F，則：

，解得，

∴F（3-t，2t）．

S=S△QPE-S△PBK-S△FBE=PEPQ-PBPK-BEyF=×3×3-（3-t）2-t2t=-t2+3t；

（II）當＜t＜3時，如答圖3所示：

設PQ分別與BC、BD交于點K、點J．

∵CQ=t，

∴KQ=t，PK=PB=3-t．

直線BD解析式為y=-2x+6，令x=t，得y=6-2t，

∴J（t，6-2t）．

S=S△PBJ-S△PBK=PBPJ-PBPK=（3-t）（6-2t）-（3-t）2=t2-3t+．

綜上所述，S與t的函數關系式為：

S=．