Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，CD＝3cm，BC＝4cm，連接BD，并過點C作CN⊥BD，垂足為N，直線l垂直BC，分別交BD、BC于點P、Q．直線l從AB出發，以每秒1cm的速度沿BC方向勻速運動到CD為止；點M沿線段DA以每秒1cm的速度由點D向點A勻速運動，到點A為止，直線1與點M同時出發，設運動時間為t秒（t＞0）．

（1）線段CN＝　 　；

（2）連接PM和QN，當四邊形MPQN為平行四邊形時，求t的值；

（3）在整個運動過程中，當t為何值時△PMN的面積取得最大值，最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）；（2）t＝；（3）t＝4時，△PMN的面積取得最大值，最大值為．

【解析】

（1）由矩形的性質和勾股定理可求BD的長，由三角形的面積公式可求CN的長；

（2）由勾股定理可求DN的長，通過證明△DMN∽△DAB，可得，可得DM的值，即可求t的值；

（3）分兩種情況討論，利用三角形面積公式列出△PMN的面積與t的關系式，可求△PMN的面積的最大值．

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形

∴BC＝AD＝4cm，∠BCD＝90°＝∠A，

∴BD＝＝5cm，

∵S△BCD＝BCCD＝BDCN

∴CN＝

故答案為：

（2）在Rt△CDN中，DN＝＝

∵四邊形MPQN為平行四邊形時

∴PQ∥MN，且PQ⊥BC，AD∥BC

∴MN⊥AD

∴MN∥AB

∴△DMN∽△DAB

∴

即

∴DM＝cm

∴t＝

（3）∵BD＝5，DN＝

∴BN＝

如圖，過點M作MH⊥BD于點H，

∵sin∠MDH＝sin∠BDA＝

∴

∴MH＝t

當0＜t＜

∵BQ＝t，

∴BP＝t，

∴PN＝BD﹣BP﹣DN＝5﹣﹣t＝﹣t

∴S△PMN＝×PN×MH＝×t×（﹣t）＝﹣t2+t

∴當t＝s時，S△PMN有最大值，且最大值為，

當t＝s時，點P與點N重合，點P，點N，點M不構成三角形；

當＜t≤4時，如圖，

∴PN＝BP﹣BN＝t﹣

∴S△PMN＝×PN×MH＝×t×（t﹣）＝t2﹣t

當＜t≤4時，S△PMN隨t的增大而增大，

∴當t＝4時，S△PMN最大值為，

∵＞

∴綜上所述：t＝4時，△PMN的面積取得最大值，最大值為．