Question

【題目】學以致用：問題1：怎樣用長為的鐵絲圍成一個面積最大的矩形？

小學時我們就知道結論：圍成正方形時面積最大，即圍成邊長為的正方形時面積最大為．請用你所學的二次函數的知識解釋原因．

思考驗證：問題2：怎樣用鐵絲圍一個面積為且周長最小的矩形？

小明猜測：圍成正方形時周長最小．

為了說明其中的道理，小明翻閱書籍，找到下面的結論：

在、均為正實數）中，若為定值，則，只有當時，有最小值．

思考驗證：證明：、均為正實數）

請完成小明的證明過程：

證明：對于任意正實數、

　　

解決問題：

（1）若，則　　（當且僅當　　時取“” ；

（2）運用上述結論證明小明對問題2的猜測；

（3）填空：當時，的最小值為　　．

Answer 1

【答案】（1），2，1；（2）運鐵絲圍一個面積為且周長最小的矩形，所圍成正方形時周長最小；（3）9

【解析】

運用完全平方公式展開，再把根式部分移到不等式的右邊便可得：；

（1）運用公式（其中、均為正實數，當且僅當時取“” ，進行解答便可；

（2）設矩形的長、寬分別為、，由題意得，再根據公式證明當時，有最小值，進而得結論；

（3）把化成的形式，再根據公式進行解答便可．

解：，

，

，

故答案為：；

（1），

，

當時，即時，，即，

故答案為：2；1．

（2）設矩形的長、寬分別為、，由題意得，則

，即，

當時，取最小值為10，此時矩形的周長最小為，

時，矩形變為正方形，

鐵絲圍一個面積為且周長最小的矩形，所圍成正方形時周長最小；

（3），

，

，，

，即，

當時，即時，

取最小值為：．

故答案為：9．