Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線c1：y=ax2﹣4a+4（a＜0）經過第一象限內的定點P

（1）直接寫出點P的坐標；
（2）若a=﹣1，如圖1，點M的坐標為（2，0）是x軸上的點，N為拋物線c1上的點，Q為線段MN的中點，設點N在拋物線c1上運動時，Q的運動軌跡為拋物線c2 ， 求拋物線c2的解析式；
（3）直線y=2x+b與拋物線c1相交于A、B兩點，如圖2，直線PA、PB與x軸分別交于D、C兩代女．當PD=PC時，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵y=ax2﹣4a+4=a（x2﹣4）+4，該函數圖象過第一象限內的定點P，

∴x2﹣4=0，

解得 x=2或x=﹣2（舍去），

則y=4，

∴點P的坐標是（2，4）

（2）解：設點Q的坐標為（xQ，yQ），點N的坐標為（xN，yN）．

∵M（2，0）．

由點Q是線段MN的中點，可以求得，xN=2xQ﹣2，yN=2yQ．

∵a=﹣1，

∴拋物線c1的解析式為y=﹣x2+8．

∵點N在拋物線c1上，

∴yN=﹣xN2+8．

∴2yQ=﹣（2xQ﹣2）2+8，即yQ=﹣2xQ2+4xQ+2，

∴拋物線c2的解析式為：y=﹣2x2+4x+2．

（3）解：設點A、B的坐標分別為A（x1，ax12﹣4a+4）、B（x2，ax22﹣4a+4）．

又∵點A、B在直線y=2x+b上，

∴a（x1+x2）=2．

如圖，過點B作BG∥y軸，過點P作PG∥x軸，BG、PG相交于點G，過點A作AH∥x軸，過點P作PH∥y軸，AH、PH相交于點H．

∵PD=PC，

∴∠PDC=∠PCD．

∵AH∥x軸，

∴∠PAH=∠PDC．

同理，∠BPG=∠PCD，

∴∠AHP=∠PGB，

∴Rt△PGB∽Rt△AHP，

∴ = ，即 = ，

∴x1+x2=﹣4，

∴a=﹣ ．

【解析】本題考查了待定系數法求二次函數解析式、相似三角形的判定與性質、二次函數圖象上點的坐標特征等知識. 解答第（2）題的技巧在于用點Q的坐標表示點N的坐標，然后把點N的坐標代入其所在的拋物線的解析式，通過化簡可求得拋物線c2的解析式.