Question

【題目】如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A、C不重合），Q是CB延長線上一動點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．

（1）若AE=1時，求AP的長；

（2）當∠BQD=30°時，求AP的長；

（3）在運動過程中線段ED的長是否發生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果發生變化，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）2（2）2（3）DE=3是定值

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質得到∠A=60°，根據三角形內角和定理得到∠APE=30°，根據直角三角形的性質計算；

（2）過P作PF∥QC，證明△DBQ≌△DFP，根據全等三角形的性質計算即可；

（3）根據等邊三角形的性質、直角三角形的性質解答．

（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=60°，

∵PE⊥AB，

∴∠APE=30°，

∵AE=1，∠APE=30°，PE⊥AB，

∴AP=2AE=2；

（2）過P作PF∥QC，

則△AFP是等邊三角形，

∵P、Q同時出發，速度相同，即BQ=AP，

∴BQ=PF，

在△DBQ和△DFP中，

，

∴△DBQ≌△DFP，

∴BD=DF，

∵∠BQD=∠BDQ=∠FDP=∠FPD=30°，

∴BD=DF=FA=AB=2，

∴AP=2；

（3）由（2）知BD=DF，

∵△AFP是等邊三角形，PE⊥AB，

∴AE=EF，

∴DE=DF+EF=BF+FA=AB=3為定值，即DE的長不變．