Question

【題目】如圖，CD是⊙O的直徑，點B在⊙O上，連接BC、BD，直線AB與CD的延長線相交于點A，AB2＝ADAC，OE∥BD交直線AB于點E，OE與BC相交于點F．

（1）求證：直線AE是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為3，cosA＝，求OF的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）連接OB，根據已知條件得到△ABD∽△ACB，再根據相似三角形的性質得到∠ABD＝∠ACB，由等腰三角形的性質得到∠OBC＝∠ACB，等量代換得到∠OBC＝∠ABD，于是得到結論；

（2）設AB＝4x，OA＝5x，根據勾股定理得到AB＝4，OA＝5，求得AD＝2，根據平行線分相等成比例定理得到BE＝6，由勾股定理得到OE＝＝3，根據三角形的面積公式得到BF＝，根據三角函數的定義即可得到結論．

（1）

如圖，連接OB，

∵AB2＝ADAC，

∴，

∵∠A＝∠A，

∴△ABD∽△ACB，

∴∠ABD＝∠ACB，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠ACB，

∴∠OBC＝∠ABD，

∵CD是⊙O的直徑，

∴∠CBD＝90°，

∴∠OBC+∠OBD＝90°，∠OBD+∠ABD＝90°，

即∠OBA＝90°，

∴直線AE是⊙O的切線；

（2）∵OB＝3，cosA＝，

∴設AB＝4x，OA＝5x，

∵OA2＝AB2+OB2，

∴（5x）2＝（4x）2+32，

∴x＝1，

∴AB＝4，OA＝5，

∴AD＝2，

∵OE∥BD，

∴，

∴BE＝6，

∴OE＝＝3，

∵∠CBD＝90°，BD∥OE，

∴∠EFB＝90°，

∵S△OBE＝OBBE＝OEBF，

∴OBBE＝OEBF，

∴BF＝，

∵tan∠E＝，

∴EF＝，

∴OF＝OE﹣EF＝．