Question

【題目】在直線上順次取 A，B，C 三點，分別以 AB，BC 為邊長在直線的同側作正三角形， 作得兩個正三角形的另一頂點分別為 D，E．

(1)如圖①，連結 CD，AE，求證：CD＝AE；

(2)如圖②，若 AB＝1，BC＝2，求 DE 的長；

(3)如圖③，將圖②中的正三角形 BCE 繞 B 點作適當的旋轉，連結 AE，若有 DE2＋BE2＝ AE2，試求∠DEB 的度數．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：（1）由△ABD和△ECB都是等邊三角形可得AD=AB=BD，BC=BE=EC，∠ABD=∠EBC=60°，所以∠ABE=∠DBC，所以△ABE≌△DBC，即可證明AE=DC；（2）

如圖②中，取BE中點F，連接DF，由題意不難得出BF=EF=1=BD，再結合∠DBF=60°可得△DBF是等邊三角形，進而推出∠EDB=90°，再由勾股定理可求出DE的長；（3）如圖③中，連接DC，由已知條件不難證明△ABE≌△DBC，所以AE=DC，因為DE2+BE2=AE2，BE=CE，所以DE2+CE2=CD2，所以∠DEC=90°，因為∠BEC=60°，所以∠DEB=∠DEC－∠BEC=30°．

試題解析：

（1）證明：如圖①中，

∵△ABD和△ECB都是等邊三角形，
∴AD=AB=BD，BC=BE=EC，∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠ABE=∠DBC，
在△ABE和△DBC中，

，

∴△ABE≌△DBC，
∴AE=DC；
（2）如圖②中，取BE中點F，連接DF，

∵BD=AB=1，BE=BC=2，∠ABD=∠EBC=60°，
∴BF=EF=1=BD，∠DBF=60°，
∴△DBF是等邊三角形，
∴DF=BF=EF，∠DFB=60°，
∵∠BFD=∠FED+∠FDE，
∴∠FDE=∠FED=30°，
∴∠EDB=180°－∠DBE－∠DEB=90°，
∴DE=；
（3）如圖③中，連接DC，

∵△ABD和△ECB都是等邊三角形，
∴AD=AB=BD，BC=BE=EC，∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠ABE=∠DBC，
在△ABE和△DBC中，

，