Question

【題目】如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，點D在上，點E在弦AB上（E不與A重合），且四邊形BDCE為菱形．

（1）求證：AC=CE；

（2）求證：BC2﹣AC2=ABAC；

（3）已知⊙O的半徑為3．

①若=，求BC的長；

②當為何值時，ABAC的值最大？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）①BC=4；②

【解析】（1）由菱形知∠D=∠BEC，由∠A+∠D=∠BEC+∠AEC=180°可得∠A=∠AEC，據(jù)此得證；

（2）以點C為圓心，CE長為半徑作⊙C，與BC交于點F，于BC延長線交于點G，則CF=CG=AC=CE=CD，證△BEF∽△BGA得，即BFBG=BEAB，將BF=BC-CF=BC-AC、BG=BC+CG=BC+AC代入可得；

（3）①設AB=5k、AC=3k，由BC2-AC2=ABAC知BC=2k，連接ED交BC于點M，Rt△DMC中由DC=AC=3k、MC=BC=k求得DM==k，可知OM=OD-DM=3-k，在Rt△COM中，由OM2+MC2=OC2可得答案．②設OM=d，則MD=3-d，MC2=OC2-OM2=9-d2，繼而知BC2=（2MC）2=36-4d2、AC2=DC2=DM2+CM2=（3-d）2+9-d2，由（2）得ABAC=BC2-AC2，據(jù)此得出關于d的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．

（1）∵四邊形EBDC為菱形，

∴∠D=∠BEC，

∵四邊形ABDC是圓的內(nèi)接四邊形，

∴∠A+∠D=180°，

又∠BEC+∠AEC=180°，

∴∠A=∠AEC，

∴AC=CE；

（2）以點C為圓心，CE長為半徑作⊙C，與BC交于點F，于BC延長線交于點G，則CF=CG，

由（1）知AC=CE=CD，

∴CF=CG=AC，

∵四邊形AEFG是⊙C的內(nèi)接四邊形，

∴∠G+∠AEF=180°，

又∵∠AEF+∠BEF=180°，

∴∠G=∠BEF，

∵∠EBF=∠GBA，

∴△BEF∽△BGA，

∴，即BFBG=BEAB，

∵BF=BC﹣CF=BC﹣AC、BG=BC+CG=BC+AC，BE=CE=AC，

∴（BC﹣AC）（BC+AC）=ABAC，即BC2﹣AC2=ABAC；

（3）設AB=5k、AC=3k，

∵BC2﹣AC2=ABAC，

∴BC=2k，

連接ED交BC于點M，

∵四邊形BDCE是菱形，

∴DE垂直平分BC，

則點E、O、M、D共線，

在Rt△DMC中，DC=AC=3k，MC=BC=k，

∴DM=，

∴OM=OD﹣DM=3﹣k，

在Rt△COM中，由OM2+MC2=OC2得（3﹣k）2+（k）2=32，

解得：k=或k=0（舍），

∴BC=2k=4；

②設OM=d，則MD=3﹣d，MC2=OC2﹣OM2=9﹣d2，

∴BC2=（2MC）2=36﹣4d2，

AC2=DC2=DM2+CM2=（3﹣d）2+9﹣d2，

由（2）得ABAC=BC2﹣AC2

=﹣4d2+6d+18

=﹣4（d﹣）2+，

∴當d=，即OM=時，ABAC最大，最大值為，

∴DC2=，

∴AC=DC=，

∴AB=，此時．