Question

【題目】已知：⊙O是正方形ABCD的外接圓，點E在上，連接BE、DE，點F在上連接BF、DF，BF與DE、DA分別交于點G、點H，且DA平分∠EDF．

（1）如圖1，求證：∠CBE=∠DHG；

（2）如圖2，在線段AH上取一點N（點N不與點A、點H重合），連接BN交DE于點L，過點H作HK∥BN交DE于點K，過點E作EP⊥BN，垂足為點P，當BP=HF時，求證：BE=HK；

（3）如圖3，在（2）的條件下，當3HF=2DF時，延長EP交⊙O于點R，連接BR，若△BER的面積與△DHK的面積的差為，求線段BR的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】（1）由正方形的四個角都為直角，得到兩個角為直角，再利用同弧所對的圓周角相等及角平分線定義，等量代換即可得證；

（2）如圖2，過H作HM⊥KD，垂足為點M，根據題意確定出△BEP≌△HKM，利用全等三角形對應邊相等即可得證；

（3）根據3HF=2DF，設出HF=2a，DF=3a，由角平分線定義得到一對角相等，進而得到正切值相等，表示出DM=3a，利用正方形的性質得到△BED≌△DFB，得到BE=DF=3a，過H作HS⊥BD，垂足為S，根據△BER的面積與△DHK的面積的差為，求出a的值，即可確定出BR的長．

（1）證明：如圖1，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A=∠ABC=90°，

∵∠F=∠A=90°，

∴∠F=∠ABC，

∵DA平分∠EDF，

∴∠ADE=∠ADF，

∵∠ABE=∠ADE，

∴∠ABE=∠ADF，

∵∠CBE=∠ABC+∠ABE，∠DHG=∠F+∠ADF，

∴∠CBE=∠DHG；

（2）如圖2，過H作HM⊥KD，垂足為點M，

∵∠F=90°，

∴HF⊥FD，

∵DA平分∠EDF，

∴HM=FH，

∵FH=BP，

∴HN=BP，

∵KH∥BN，

∴∠DKH=∠DLN，

∴∠ELP=∠DLN，

∴∠DKH=∠ELP，

∵∠BED=∠A=90°，

∴∠BEP+∠LEP=90°，

∵EP⊥BN，

∴∠BPE=∠EPL=90°，

∴∠LEP+∠ELP=90°，

∴∠BEP=∠ELP=∠DKH，

∵HM⊥KD，

∴∠KMH=∠BPE=90°，

∴△BEP≌△HKM，

∴BE=HK；

（3）解：如圖3，連接BD，

∵3HF=2DF，BP=FH，

∴設HF=2a，DF=3a，

∴BP=FH=2a，

由（2）得：HM=BP，∠HMD=90°，

∵∠F=∠A=90°，

∴tan∠HDM=tan∠FDH，

∴，

∴DM=3a，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB=45°，

∵∠ABF=∠ADF=∠ADE，∠DBF=45°-∠ABF，∠BDE=45°-∠ADE，

∴∠DBF=∠BDE，

∵∠BED=∠F，BD=BD，

∴△BED≌△DFB，

∴BE=FD=3a，

過H作HS⊥BD，垂足為S，

∵tan∠ABH=tan∠ADE=，

∴設AB=3m，AH=2m，

∴BD=AB=6m，DH=AD-AH=m，

∵sin∠ADB=，

∴HS=m，

∴DS==m，

∴BS=BD-DS=5m，

∴tan∠BDE=tan∠DBF=，

∵∠BDE=∠BRE，∴tan∠BRE=，

∵BP=FH=2a，

∴RP=10a，

在ER上截取ET=DK，連接BT，由（2）得：∠BEP=∠HKD，

∴△BET≌△HKD，

∴∠BTE=∠KDH，

∴tan∠BTE=tan∠KDH，

∴，即PT=3a，

∴TR=RP-PT=7a，

∵S△BER-S△DHK=，

∴BPER-HMDK=，

∴BP（ER-DK）=BP（ER-ET）=，

∴×2a×7a=，

解得：a=（負值舍去），

∴BP=1，PR=5，

則BR=．