Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c經過原點和點A（6，0），與其對稱軸交于點B，P是拋物線y=﹣x2+bx+c上一動點，且在x軸上方．過點P作x軸的垂線交動拋物線y=﹣（x﹣h）2（h為常數）于點Q，過點Q作PQ的垂線交動拋物線y=﹣（x﹣h）2于點Q′（不與點Q重合），連結PQ′，設點P的橫坐標為m．

（1）求拋物線y=﹣x2+bx+c的函數關系式及點B的坐標；

（2）當h=0時．

①求證： ；

②設△PQQ′與△OAB重疊部分圖形的周長為l，求l與m之間的函數關系式；

（3）當h≠0時，是否存在點P，使四邊形OAQQ′為菱形？若存在，請直接寫出h的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣（x﹣3）2+4，點B的坐標為（3，4）；（2）①證明見解析②l=（3）存在，h=3﹣2或3+2時，四邊形OAQQ′為菱形

【解析】試題分析：（1）用待定系數法求得函數解析式，把解析式化為頂點式，直接寫出點B的坐標即可；（2）①當h=0時，求得拋物線的解析式，用m表示出點P、Q的坐標，再用m表示出PQ、QQ′的長，計算即可得結論；②分當0＜m≤3時和當3＜m＜6時兩種情況求l與m之間的函數關系式；（3）存在，當四邊形OQ′1Q1A是菱形時，OQ′1=OA=Q1Q′1=6，

當拋物線的頂點是原點時，可求得Q1點橫坐標為3，將x=3代入y=﹣x2，得 y=-4，由于是平移，可知Q點縱坐標不變，在RT△OHQ′1，中，OH=4，OQ′1=6，根據勾股定理求得HQ′1=2，即可得h的值(根據函數的對稱性).

試題解析：

（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c過（0，0）和點A（6，0）

∴，

解得，

∴拋物線y=﹣x2+bx+c的函數關系式為：y=﹣x2+8x，

∴y=﹣（x﹣3）2+4，

∴點B的坐標為（3，4）；

（2）①證明：∵h=0時，拋物線為y=﹣x2，

設P（m，﹣m2+m），Q（m，﹣m2），

∴PQ=m，QQ′=2m，

∴==；

②如圖1中，當0＜m≤3時，設PQ與OB交于點E，與OA交于點F，

∵=，∠PQQ′=∠BMO=90°，

∴△PQQ′∽△BMO，

∴∠QPQ′=∠OBM，

∵EF∥BM，

∴∠OEF=∠OBM，

∴∠OEF=∠QPQ′，

∴OE∥PQ′，

∵=，

∴EF=，OE=，

∴l=OF+EF+OE=m++m=4m，

當3＜m＜6時，如圖2中，設PQ′與AB交于點H，與x軸交于點G，PQ交AB于E，交OA于F，作HM⊥OA于M．

∵AF=6﹣m，tan∠EAF==，

∴EF=（6﹣m），AE=，

∵tan∠PGF==，PF=﹣x2+x，

∴GF=﹣m2+2m，

∴AG=﹣m2+m+6，

∴GM=AM=﹣m2+m+3，

∵HG=HA==﹣m2+m+5，

∴l=GH+EH+EF+FG=﹣m2+4m+8．

綜上所述l=，

（3）如圖3中，存在，

當四邊形OQ′1Q1A是菱形時，OQ′1=OA=Q1Q′1=6，

當頂點在原點時，Q1點橫坐標為3，將x=3代入

y=﹣x2，得 y=-4，由于是平移，Q點縱坐標不變，

∴點Q1的縱坐標為-4，

在RT△OHQ′1，中，OH=4，OQ′1=6，

∴HQ′1=2，

∴h=3﹣2或3+2，

綜上所述h=3﹣2或3+2時，四邊形OAQQ′為菱形．